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摘 要

最小二乘法作为一种数学优化技术，在现实生活中具有广泛的应用，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．最小二乘法还可用于曲线拟合．本文将主要研究最小二乘法在数学建模中的应用．通过给出最小二乘法在MATLAB中的代码计算模型参数，误差精确度，并给出检验模型．

关键词：最小二乘法，参数估计，误差精确度

Abstract: The least square method is used as a mathematical optimization technique, Has a wide range of applications in real life, It matches the best function of the data by minimizing the square of the error. The least square method can also be used for curve fitting. we mainly study the application of the least square method in the mathematical modeling. By using least square method in MATLAB code to calculate model parameters, precision error, and gives the test model.

Keywords: least squares method, parameter estimation, error accuracy

目录

1 前言…………………………………………………………………………………………………6

1.1 最小二乘法的概念…………………………………………………………………………6

1.2 最小二乘法的简史………………………………………………………………………6

2 最小二乘法的原理……………………………………………………………………………6

3 最小二乘法在数学建模中的应用………………………………………………………8

3.1 模型为一元线性拟合及实例……………………………………………………………8

3.2 模型为多元线性拟合及实例…………………………………………………………10

3.3 模型为多项式拟合及实例………………………………………………………………14

结论………………………………………………………………………………………………………16

参考文献………………………………………………………………………………………………17

致谢………………………………………………………………………………………………………18

1 前言

1．1 最小二乘法的概念

所谓最小二乘法是一种数学优化技术，通常意义下它是通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配．最小二乘法使用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小．最小二乘法通过最小化能量和最大化熵用最小二乘法的形式表达．

比如最简单的一次函数，已知坐标平面上有点，，，，，求经过这些点的图像的一次函数关系式．当然了，这条直线不可能经过每一个点，我们只需要做到五个点到这条直线的距离的平方和最小就可以了，这就需要用到最小二乘法的思想，然后用线性拟合来完成求解．

1．2 最小二乘法的简史

最小二乘法的历史最早可追溯到1801年，意大利的天文学家朱塞普·皮亚齐发现了一颗小行星谷神星．经过40天的跟踪和观测后，由于谷神星运行到太阳的背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置．随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果．当时二十四岁的高斯计算了谷神星的轨道．奥地利的天文学家海因里希.奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨迹重新发现了谷神星．高斯所使用的最小二乘法发表于1809年他所著作的《天体运动论中》．法国科学家勒让德与1806年独立发明“最小二乘法”，但是因为不为人知而默默无闻．勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法的原理而发生争执．1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-马尔可夫定理．

从发现最小二乘法，到现在最小二乘法已经被应用到很多的领域．如化学、物理、计算机、金融学这些基本学科，而这些学科的发展都离不开运用数学，最小二乘法的发现又使矩阵符号表示法、近代统计估计理论的概念和近代线性代数的概念得到进一步的发展．

2 最小二乘法的原理

假如和是具有某种相关关系的物理量，它们之间的关系可以用下面的式子给出

（1）

式子中是个待定的常数，即（1）式的曲线的形式已经确定，但曲线的具体形状还是未定的．

为求得具体的曲线，可同时测得和的数值，设一共获得组观测结果，如下表1

表1

根据这些测得的数据来确定常数的值．

设关系最佳的形式是

（2）

式中是最佳的估计值．若不存在测试上的误差，则各观测值都应该在曲线（1）上，即

（3）

但由于存在测试上的误差，因此（3）式与（2）式不能完全重合，即存在误差

若组的观测数据中有较多的值落到了曲线（2）上，则所得的曲线就能够较为准确的反映出被测得物理量之间的关系．当值落在曲线上的概率最大时，曲线（2）式就是曲线（1）式的最佳形式．如果误差服从正态分布，则的概率为

当最大时，求得的曲线就应当是最佳的形式，显然，此时下式应该是最小的

误差的平方和最小应当有

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