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摘 要

结合举例，系统地总结和阐述了利用一致收敛的定义、函数列一致收敛的定理、维尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法等判别函数列或函数项级数一致收敛的一般原则和方法.

关键词：一致收敛，原则，方法

Abstract: Combining with examples, the author systematically concludes and discusses the general principles and methods of discriminating function of uniformly convergence ,like definition of uniform convergence , uniform convergence of function sequence theorem, Weierstrass Discriminance, Abel Discriminance, Dirichlet Discriminance and so on.

Key words: uniform convergence, principle, methods

目录

1 引言…………………………………………………………………………4

2 利用定义判别的例题分析…………………………………………………5

3 函数列一致收敛定理判别的例题分析……………………………………7

4 维尔斯特拉斯判别法的例题分析…………………………………………7

5 阿贝尔判别法的例题分析…………………………………………………9

6 狄利克雷判别法的例题分析………………………………………………9

结论……………………………………………………………………………12

参考文献………………………………………………………………………13

致谢……………………………………………………………………………14

1 引言

一致收敛是函数列或函数项级数的一个重要性质，有效地判别函数列或函数项级数的一致收敛对进一步研究函数列或函数项级数的性质起着非常重要的作用.判别函数列一致收敛一般用定义和狄尼定理，判别函数项级数的一致收敛时，通常用魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法或者直接根据一致收敛的定义进行判别.

一致收敛的定义 若给定任意一个正数，能够找到一个不依赖于的正整数，使得当时，在区间上的一切都适合不等式

,

就叫做级数在区间上一致收敛.

函数列一致收敛定理 函数列在区间上一致收敛于的充要条件是：

.

维尔斯特拉斯判别法 如果有常数0满足条件：

级数的一般项的绝对值在区间上适合不等式；

正项级数收敛.

则级数在区间上一致收敛.

维尔斯特拉斯判别法是把给定的函数项级数的各项绝对值适当放大，放大到与无关，即.如果得到的数项级数收敛，就可判断一致收敛.这种方法是数学分析中常用的方法.但凡是它能够判断一致收敛的级数必同时是绝对

收敛的，即维尔斯特拉斯不适用于条件收敛的级数.

阿贝尔判别法 如果函数项级数在区间内一致收敛；函数列全体是有界的并对每一个形成一个单调的数列，则级数在区间内一致收敛.

狄利克雷判别法 如果

函数项级数的部分和全体是有界的；

函数项对于每一个都是单调的，并且当时在内一致地趋向于零.

则级数在区间内一致收敛.

在一些有关数学分析的解题方法的著作中，时常会看到判别函数项级数一致收敛的题目，例如文献[1-6].在本文中，笔者将系统总结在大学里学习中数学分析中判别一致收敛的体会,并分别对狄尼定理、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法、定义判别方法的一般原则方法及注意事项进行阐述和概括.

2 利用定义判别的例题分析

一致收敛性比通常意义下的收敛性要求更高.想要一个函数项级数一致收敛，则它至少是在通常意义下收敛的.用定义判别一致收敛性，也可改述为：

对于上收敛的函数项级数来说，若它一致收敛对于任意给定的，存在一致可用的号码，使对于上的一切，当时，都有

.

其中是用部分和近似代替和所产生的误差，即

=-,

称它为收敛级数的余式.

当然，只能对收敛级数讨论余式，对于发散级数来说，因为它没有和，所以根本谈不上余式.

例1 函数列

在区间上收敛；

在每一个有穷的区间上一致收敛；

在区间上一致收敛.

试说明各是什么意思？

解 （1）对于任意及任意的lt;都存在一个正整数，使得当时恒有

，

则称函数列在区间上收敛，这里不仅仅与有关，而且与值也有关.

（2）对于每一个，如果对于任给的，存在一个

，使当时，对于内的一切值，均有

，

则称在每一个上一致收敛.

（3）如果对于任给的，都有正整数存在，这里仅与有关，使当时，对所有的,均有

，

则称在上一致收敛.

例2 讨论级数在上是否一致收敛.

解 当0时，

；

当时，.

所以，级数当0时收敛，其和是

.

现证在区间上级数是一致收敛的，如果一致收敛，则对于任意必

可找到正整数(它只依赖于而与无关），使得当时，有

不是一般性，设，则由不等式，两边取对数，再两边除以负数，得.

当时，，因而找不到那样的，即级数在0上不是一致收敛，从而在区间0上也不一致收敛.可是，对于正数，级数在闭区间0上却一致收敛.因为这时取得最大值，取，当时就有.

3 函数列一致收敛定理判别的例题分析

例3 定义在上的函数列

其中的图像如图1所示

图1

由于，故.当时，只要，就有.故在上有.于是该函数列在上的极限函数.又由于

,

所以此函数列在上不一致收敛.

4 维尔斯特拉斯判别法的例题分析

例4 研究级数1 ···的收敛性的一致收敛性

解 这是一个等比级数，它对于收敛，对于发散.所以，级数的收敛域是开发区.

下面证明在内部任何一个闭区间（其中）上,级数一致收敛，事实上，对于这区间的一切x，1-，从而，可取

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