论文总字数：4302字

摘 要

关键词：二重积分，变量代换，极坐标变换，曲线坐标变换

Abstract：To summarize and discuss the skills of variable substitution which aim at the trait of a variety of different integrand integration and the integral area, showing the use of the variable substitution in double integral calculation.

Keywords：double integral, variable substitution, polar coordinate transformation, curve coordinate transformation

目 录

1 引言 4

2 二重积分的极坐标变换 4

2.1极坐标变换 4

2.2极坐标变换的选择 4

2.3极坐标下二重积分化为两个定积分的乘积 7

3 曲线坐标变换 8

结论 14

参考文献 15

致 谢 16

1 引言

在计算定积分时，由于被积函数的原函数不易求，所以常常会利用换元法将被积函数的形状进行转化，以便于使用基本求积公式.在计算二重积分时也类似的使用转化的思想求解.二重积分不仅面临被积函数需要转化的问题，有时也会遇到积分区域过于复杂的情况，甚至有时积分区域往往会成为困难的主要方面，此时就要根据不同的问题采用不同的变量代换方法，简化被积函数或简化积分区域，从而使得二重积分的计算得以简便.二重积分的变量代换主要有极坐标变换和一般的曲线坐标变换.选择合适的坐标变换在二重积分的计算中往往能简化运算步骤，减少运算量，从而起到事半功倍的效果，甚至有些二重积分不用坐标变换不能求解.在本文中，我们通过举例，剖析和总结一些变量代换在二重积分计算中的巧妙运用.

2 二重积分的极坐标变换

2.1 极坐标变换

，

引进新变量、，就得到极坐标代替直角坐标来计算二重积分的公式

，

其中是在极坐标系下的面积元素.

如果 , 则

.

当时，得到的面积等于

.

2.2极坐标变换的选择

如引言所述，计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如果能采用适当地坐标系，往往可以起到事半功倍的效果.从积分域来考虑，一般情况下，圆形，扇形或环形可以选用极坐标系.

例1 将连续函数在两圆和之间的环形区域上之二重积分化为二次积分.

解 先画出域的图形，如图.

若用直角坐标，则需要将分为四个子区域：如图 所示.所以，在上的积分

若用极坐标，有 显然，极坐标系下运算比较方便.

图

例2 计算二重积分，其中区域为.

解 这个二重积分若用直角坐标计算是积不出来的，因为被积函数的原函数不是初等函数.将积分区域变换为极坐标，这时区域可表示为

被积函数.于是

=

=

=

这里应用了极坐标，面积元素中的因子帮了很大的忙，它使不可积函数变成可积函数了.

例3 求由平面，平面平面与半径为的上半球面所围成的体积.

解 先画出所围体积的图形，如图.

图

则所求体积为

其中域为图中平面上开口角为的扇形域，在极坐标系下考虑，则在极坐标系下用双边不等式表示为

于是.

2.3极坐标下二重积分化为两个定积分的乘积

对于以极点为圆心的圆形域，圆环域或扇形域，每次积分的上下限呈最简单的情况，即每次积分上下限均为常数。此时，若被积函数可以表示为关于和的两个一元函数的乘积，即时，则二重积分可化为两个定积分的乘积

.

例 4 计算二重积分其中，由所围成.

解 先画出区域，如图，可知在极坐标下域可表示为

，

图

于是

令，则上式.

3 曲线坐标变换

通过以上所论述，可以知道在求二重积分时，若积分区域是圆，圆环，扇形时，化到极坐标系进行计算比较简单.但是，如果积分区域是一般的曲线时，就需要更加一般的曲线坐标变换.

假设函数在有界闭区域上连续，则二重积分存在.如果有定义在平面区域上的函数组，满足下列条件：

函数及其对任何变量的偏导数在区域上连续；

在区域中任何一点函数行列式不为零，即

；

函数组将区域变换到平面上区域，而通过上述方程组使区域中的点与区域中的点一一对应（边界曲线与边界曲线对应）.于是，用曲线坐标代替直角坐标来计算二重积分以下变量替换公

，

其中是曲线坐标下的面积元素.

在具体应用中，选择变换式子是个带有技巧性的问题，一般需要注意

要能简化积分号下的式子，如同定积分那样使得经过变换后容易积分；

运用变量代换的目的在于简化积分区域，使得积分限容易安排.所以，变量代换的选取通常是与的边界曲线所对应的曲线族有关.

前面所讲的重积分的极坐标计算公式是一般重积分变换的一个特例.此时作变换，

则 .

故有.

例 5 计算重积分，其中

解 作变换

，

这个变换把矩形域 与变为椭圆，如图

图

其变换行列式为：

，

所以

.

例6当连续时，对于进行变量替换.

解 在这个变换下 与

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：4302字