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H_infin;增益调度比例积分微分控制设计的参数化双线性矩阵不等式技术

摘要

比例积分微分 (PID) 结构化控制器是最流行的工业控制类别，但仍无法在增益调度控制系统中得到适当利用。为了获得增益调度控制系统的实用性和易处理性，本文讨论了H_infin;增益调度PID控制。这种控制器的设计基于参数化的双耳矩阵不等式，然后通过非凸优化的双线性矩阵不等式优化问题来解决。为它的计算开发了几个计算过程。通过基准示例显示了开发算法的优点。

关键词

H_infin;比例-积分-微分控制，双线性矩阵不等式，增益调度控制系统，非凸优化技术，参数化双线性矩阵不等式

1|引言

易于在线实现的增益调度系统已被证明是研究复杂非线性系统的最实用工具之一。将非线性系统视为增益调度系统允许应用先进的增益调度控制技术来处理状态反馈和 非线性系统的输出反馈稳定。到目前为止，大多数增益调度控制器都被假定为无结构和满秩的，以允许计算上可处理的基于参数化线性矩阵不等式 (PLMI)或基于线性矩阵不等式 (LMI) 的公式.

同时，比例-积分-微分结构（PID）控制器由于其结构简单但用途广泛，是工业控制中不可或缺的组成部分。PID控制理论仍然是最近研究的主题。然而，主要关注点仅限于频域中的线性时不变系统。Takagi-Sugeno模糊系统的PID控制器是一种特殊的增益调度系统，在参考文献 21-24 中进行了考虑。参考文献25提出了一种基于LMI的迭代算法，用于在系统和控制器的特定结构下的Takagi-Sugeno系统中的比例积分(PI)控制器。参考文献26中提出了一种双线性矩阵不等式(BMI)方法来解决离散时间情况下的H_infin;增益调度问题。然而，这种方法仅限于更有利的状态反馈控制器，并且不考虑PID输出反馈控制器。参考文献27研究了不确定线性参数变化(LPV)系统的增益调度PID控制器设计，其中鲁棒控制器综合的可解性条件是根据BMI制定的。请注意，此类表征依赖于线性二次型的保证成本性能设计，并且在决策变量中涉及3阶矩阵项，从计算的角度来看，这似乎极具挑战性。此外，使用目的求解器 PENBMI来解决矩阵不等式，这被证明无法在不同的应用程序中找到可行的解决方案。参考文献29中的作者基于求解二次矩阵不等式可行性问题，为LPV系统开发了一种稳健的增益调度PID控制设计方法。通过构造，这种方法仅限于纯粹的稳定问题，没有任何性能目标可以最小化。 没有研究性能H_infin;、H₂或类似的，这在实践中似乎是一个很大的限制。最近的一项工作将模糊对角PID控制器问题转化为静态输出反馈问题，控制器维度显着增加。这种方法当然仅限于简单的应用，例如具有小状态维度的SISO 工厂，如参考文献30中的示例所示。

受PID控制现状的启发，本文研究了用于增益调度系统的H_infin;增益调度PID控制器。控制设计问题被公式化为参数化双线性矩阵不等式 (PBMI) 优化问题，这与无结构增益调度控制设计的PLMI公式形成对比。这是完全可以预料的，因为线性时不变系统的PID控制器设计已经是非凸的，这相当于状态空间中的BMI优化问题。 在我们的方法中，然后通过BMI处理PBMI以进行更易于计算的计算。 应该注意的是，BMI优化构成了最具计算挑战性的问题之一，因为没有有效的计算方法。最先进的BMI求解器在解决线性时不变系统的结构约束稳定控制器时，必须从可行控制器初始化，然后在包含该初始化点的凸可行性子集中移动。 通常它们的收敛速度很慢。此外，找到一个可行的结构约束稳定控制器仍然是一个非多项式难题。找到这种可行控制器的最有效方法是通过所谓的谱横坐标优化，它寻求一个控制器，使得闭环系统的状态矩阵只有具有负实部的特征值。这种基于谱横坐标优化的方法不能扩展到增益调度系统，其稳定性并不完全取决于时变状态矩阵的谱。本文的主要贡献有两个：

bull; H_infin;PID增益调度系统的控制设计问题被表述为一个PBMI优化问题，它在计算上比用于设计无结构增益调度控制器的PLMI公式要困难得多。 提出了一种矩阵划分技术，以减少困难的BMI约束中的非线性项的数量，从而加快所提出的计算算法的收敛速度。

bull; 为源自PBMI优化的BMI开发两种有效的计算算法，生成一系列不稳定控制器，快速收敛到最优稳定控制器。

本文的其余部分安排如下。第2节致力于通过 PLMI 制定H_infin;PID增益调度控制设计，然后由 BMI 系统处理。 第3节开发了几种用于解决该BMI系统的非凸优化技术。第4节提供了基准系统的模拟，以支持前面部分的解决方案开发。第5 节总结了本文。符号。本文中使用的符号是标准的。其中，X⪰0、X≻0、X≼ 0和X≺0 分别表示对称矩阵X是半正定、正定、半负定和负定。Trace(X)表示X的迹，而||X||2 =Trace(XXT)是它的平方范数。在对称块矩阵或长矩阵表达式中，我们使用 * 作为由对称性引出的项的省略号，例如，

所有矩阵变量均以粗体显示。用n times; n维单位矩阵表示，用0ntimes;m 表示ntimes;m维零矩阵。下标ntimes;m 如果不重要或上下文清楚，则省略。

2|H_infin;PID增益调度系统

考虑以下标准增益调度系统：

其中

并且

在(1)中，x是维度为nx的状态向量，u是维度为nu的控制输入，y是维度ny的测量输出，w和z是具有相同维度n_infin;的扰动和受控输出，alpha;(t)是增益调度参数，可在线获取，而(2)中的所有矩阵 给出了适当的大小。

本文寻求一种输出反馈增益调度PID控制器，形式为

其中

对于

注意(4)的顶点子系统的传递函数：

它由i(t)equiv;1 调度，因此是时间不变的，是

由于K_P,i∶= R_P,i R_D,i, K_I,i∶= R_I,i, K_D,i∶= minus;2R_D,i,并且ε=1/tau;,

从（7）中可以清楚地看出 K_P,i, K_I,i, 以及K_D,i,分别是比例、积分和微分增益矩阵，而(7) 中的最后一项与纯微分作用的接近程度。换句话说，(4)是多输入多输出增益调度PID控制器的状态空间表示

 H_infin;控制问题包括为(1)找到稳定控制器(4)来解决

使用速记

然后定义

闭环系统(1)和(4)改写为

使用二次Lyapunov函数

通过强迫使(8b)满足

可以很容易地看出，(8b)由以下参数化矩阵不等式满足

设置

然后

对于

它的变量是线性的，参数化矩阵不等式（10a）写为

从参考文献4的定理2.2可以看出，(13) 由以下矩阵不等式保证

因此，优化问题(8)的上限由以下优化问题提供：

由于双线性约束(11)，这是决策变量X、R=(R₁, hellip;, R_L)和W=(W₁, hellip;,W_L)中的BMI优化问题。

备注 1. 注意到大多数增益调度控制问题的现有工作利用无结构和满秩控制器来避免计算上的难处理性，这在实践中不容易实现。相比之下，所提出的增益调度PID控制器很容易实现。

对于给定的计算容差0lt;ŋlt;lt;1，我们通过以下二等分程序来解决这个优化问题。

二等分程序。从 u开始，这样BMI系统(10b),(11),(14),(16),

(17)对于upsih;= upsih;_u是可行的。检查BMI(17)对于upsih;=(1-ŋ）upsih;_u的可行性。如果BMI(17) 可行，则重置upsih;_u=upsih; ,否则，重置upsih;_l=upsih;。停止直到(upsih;u-upsih;_l)/upsih;_ult;=ŋ并接受y_u作为最佳H_infin;增益。

下一节致力于解决BMI可行性问题 (17)。 它的结果也是一种简单的方法来找到一个初始的y_u来启动上述二分过程。

3 | 求解 BMIS 的非凸光谱优化技术

矩阵C的稀疏结构表明(11) 是一个稀疏非线性约束，因为它的右手边没有那么多非线性项。确实，通过分区

与X_ii对称，可以检查

对于

因此，双线性约束（11）由线性约束表示

加上双线性约束

换句话说，X、R和W中的BMI可行性问题 (17) 现在等价地转换为以下X、R、W和Y=(Y₁, hellip;,Y_L)中的BMI可行性问题：

其中(10b)、(14)和(16)是线性矩阵不等式(LMI)约束，而(21)是线性约束。现在的困难集中在(22)中的L个双线性约束，其中只有X₁被认为是一个复杂的变量，使得(22)中的这些L个约束是非线性的。基于这一观察，我们的策略是将这个复杂的变量X₁从(22)中分离出来，以便更好地处理。让我们回顾一个辅助结果。

引理1 对于给定大小为 ntimes;m和mtimes;m 且W₂₂⪰0 的矩阵 W₁₂和W₂₂，其中有

当且仅当W₁₂=0时。

使用上述引理，我们现在可以陈述以下结果，这是处理像 (22) 这样的双线性约束的基石。

定理1 (22)中的L个双线性约束等价地表示为以下L个LMI约束

加上单个双线性约束

证明:很容易看出，那些受(22)约束的Y_j、R_j和X₁以及W_11,j=R_j(R_j)^T和W₂₂=C₂X₁(C₂X₁)^T对于(25)和(26)是可行的，显示 蕴涵 (22)rArr;(25)和(26)。

另一方面，通过Schur的补码，从(25)可以得出

我们还使用(26)来获得最后一个等式(27)。然后应用引理1产生(22)，显示蕴涵 (25)和(26)rArr;(22)。

现在，问题的非凸性集中在仅涉及X1的单个约束(26)上。

定理2 在LMI约束(25)下，双线性约束(26)等效于以下两个约束中的任何一个：

矩阵秩约束

对于

(ii) 二次约束

证明。注意(25)意味着

这也产生

通过Schur的补码。还，

所以（28）成立当且仅当秩（W₂₂minus;X₁^TC₂^TC₂X₁）=0成立，即（26）。

其次，从（32）可知（26）成立的当且仅当

这样就完成了定理2的证明。

秩约束 (28) 通常是离散的并且绝对难以处理。然而，在条件（31）下，这个秩约束等价于下面的连续矩阵-谱约束

其中lambda;[ny](Q)是Q的 ny 个最大特征值的总和。 实际上，rank(Q) ge; ny 但 (33)意味着Q最多有ny个非零特征值，因此它的秩是ny。

另一方面，如

从(33)可以看出

可用于衡量等级约束的满足程度（28）。我们没有处理非凸约束(33)，而是将其合并到目标中，从而得到(23)的以下替代公式：

假设X₁^k和W₂₂^k对于(35)是可行的，其中K表示迭代次数。设置

函数 lambda;[ny](Q)是非光滑的，但其下界为线性函数

其中 w₁^k , ....,w_n^k 是对应于 Q^k的ny个最大特征值的归一化特征向量。因此，以下凸优化问题为非凸问题 (35) 提供了上限，

假设 (X₁^{k 1},Wlt;

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