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关于2014年埃博拉病毒疫情的数学建模

Ivaacute;n Area,Jorge Losada,Faiuml;ccedil;al Ndaiuml;rou,Juan J. Nieto,Daniel D. Tcheutia

摘要：在本文中,我们分析了一个关于埃博拉疫情的仓室模型,该模型早先就在文献中被引进过.我们从这个初始模型中得到了基本再生数并引进了一个新的无量纲模型.对于这个新的模型,我们分析了该模型的局部稳定性并得到了新模型的基本再生数.最后,我们得到了一个一类分数阶无量纲模型,本文也包括一些数值实验.

关键词：埃博拉模型；分数阶埃博拉模型；分数导数；基本再生数

1.引言

考虑所谓的仓室模型是分析传染病传播的一种方法；也就是说,被研究的人群被分到了不同仓室,并且仓室之间的感染率是与时间和仓室大小有关的函数.这是Kermack和McKendrick在1920年后期开创出来的具有影响力的方法[1-3].

最近于2014年爆发的埃博拉病毒已经引起了许多科学家的注意,一方面这些科学家试图控制这种致命疾病的传播,另一方面更想要研究出精确的数学模型.在本文中我们考虑一个由8个非线性微分方程构成的埃博拉仓室模型[4].对于这个模型,我们首先计算出基本再生数,它表示在一个病人在所有易感染人口中所感染的新人数.接下来,我们引进了一个带初值的无量纲的非线性微分方程组.通过这个无量纲模型和微分系统中的数值参数,我们已经得出了无病平衡点和基本再生数.

此外,近些年来,所谓的分数微积分[5-7]已被广泛应用到科学的许多领域,如文献[8].例如,它先后在[9]和[10]中被应用于分析登革热疫情模型.分数阶微积分被越来越多运用,其主要原因是它具有记忆性的特点,因此,它可能非常适用于传染病模型.与此同时,文献[12][13]也展示了一些简单的分数阶埃博拉病毒模型.尽管分数导数比整数导数更复杂,但也存在求解非线性微分方程组的数值方法如[14、15].基于卡普托分数导数定义,我们得到类似的无量纲分数阶埃博拉病毒模型.最后,我们对整数阶和分数阶无量纲模型做了一些数值模拟.

2.初始埃博拉仓室模型

我们首先改进了文献[4]提到的埃博拉病毒模型.在这个仓室模型中,总人数N为常量,且个体被依次分类为易感染者(S),暴露者(E)即被感染过已痊愈的人,被感染者(I),住院者(H),无症状但仍能被感染的人(R)他们能通过性和父母遗传从而染病,死亡但没有埋葬的人(L),已埋葬的人(B),完全康复的人(C).该模型可由以下常微分方程组描述.

(1)

在图1中,我们给出了一个关于埃博拉模型的流程图,该图确定了每个仓室所对应的模型的各个参数.我们注意到,为了使得总人数N为常量,我们修改了与流程图相对应的第七个方程.这样,系统(1)第七个方程的这一项可以被理解为被焚烧且已埋葬的人,而为了保持总人数不变,我们引入了这一项. 此外,在表一中,我们充分描述了给予这些类别中个体运动行为的参数.

我们的模型的主要优点是传染力. 事实上,我们提出了一种传染力,它由相对于总人口数量的感染类的比例所决定,而且当对大量人群或传染病种类进行建模时,这是非常适合的.

图1.埃博拉病毒模型(1)的初始仓室模型的流程图

2.1基本再生数

我们用下一代矩阵方法来确定基本再生数R₀,相关的下一代矩阵为

,

.

通过设

,

由此可得

(2)

此时

并且

接下来我们可以算出矩阵的特征值,并由的谱半径得出基本再生数,因此,基本再生数为

3.埃博拉无量纲仓室模型

为了使得埃博拉病毒模型(1)的分析更简洁,使用缩放变量如下:

此时是一些有待确定的引量,在模型(1)中将缩放人口代入,我们可以修改方程1,修改后的方程如下

类似地,我们依次修改剩下7个方程从而得到参数系统

(3)

让我们考虑

下面,我们定义参数组如下

(4)

因此,由(3),我们得出以下与(1)等价的无量纲系统:

(5)

3.1当地无病平衡点的稳定性(DFE)

系统(5)在平衡点的雅可比矩阵如下,此时

.

通过划去第一和最后两列和行,我们得到以下矩阵:

雅可比矩阵的特征值为特征多项式P(x)的根

(6)

此时

利用Lienard-Chipart测试方法(17、18),我们可推出特征多项式P(x)所有的根是负根或有负实部当且仅当满足下列条件:

通过下一代矩阵,我们引进基本再生数

在定义之前,让我们重新修改(6)中特征多项式P(x)的对应的系数

从之前的表述中我们得知,当时我们很容易得到其满足Lienard Chipart 测试中的第一个条件.对于另一种情况,我们有,并通过使用笛卡尔的符号法则,我们得出至少有一个特征值是正值,因此,该系统是不稳定的.

此外,为了检查Lienard-Chipart测试的第二个条件,在一些繁琐的计算后,我们将用表示.在这种形式下,后面的表达式中我们的参数全为正数,除了下面这个涉及3个负参数的表达式：

它相当于一个正数的乘积.很容易证明,以下三个条件之一都是使得为正数的充分条件.

因此,任何一种情况都表明为正数,但为了确定系统(5)在点处的雅克比矩阵的特征值的符号,这一结果仍需被证明.例如,我们想强调,充分条件有负特征值是成立的.因为远小于,和的总和,所以.

4.分数阶埃博拉仓室模型

如文献[11]中展示的那样,分数阶导数更有记忆性的物理特点.因此,它对于病毒模型可能是更有用的.然而,在本文中我们不打算在分数阶微积分上得到一个主要结果,而是去得到一个类似于(5)的分数阶系统.

卡普托分数阶导数定义为(19、20)

这是一个很好的定义,例如,对于绝对连续函数,注意,在点t处函数f的Caputo分数阶导数的值,当s[0,t]时,它包含的所有值,并且当时趋于.

根据分数阶微分方程我们可以得到系统(5)

(8)

其中后一系统(8)和初始系统(1)的系数之间的关系由(4)给出.

5.数值模拟

在本节中,我们展示了我们的模型是与来自世界卫生组织获得的真实数据相符合的.同时,我们已经遵循了主要受2014年埃博拉疫情影响的三个西非国家的所有报告,即利比里亚,几内亚和塞拉利昂.所有累积的确认案例的变化在图片中都以红线显示.此外,我们用Adams-Bashforth-Moulton(14、15)的预测-评估-正确-评估(PECE)数值方法来解答古典和分数情况下的微分方程系统.根据WHO的几个报道,我们在数值计算中考虑以下参数的值.

此外我们已经估算,并将作为固定值,并利用二分法的计算方法去得到最好的近似最小二乘法,.在图2和图3中,对于一些不同的的值,我们展示了我们的模型与实际数据参数的符合度,其中每个图中都给出了指定状态变量的初始条件.

标注5.1

利用图2中描述的相同的参数和初始条件,我们求解了微分系统(3).实际数据和预测之间的差异范数是7624,即每天有超过174个案例的差异,这意味着分数阶的例子比经典的导数更逼近.

图2.在这个图中,通过令,且考虑状态变量时的初始条件,我们已经求解了分数阶系统(8).红线表示的是来自世界卫生组织的实际数据,蓝线通过分数阶系统(8)得到.实际数据和预测之间的差异范数是3181,误差小于每天7.3例.

图3.在这个图中,通过令,且考虑在状态变量的初始条件,我们已经求解了分数阶系统(8).红线表示的是来自世界卫生组织的实际数据,蓝线通过分数阶系统(8)得到的.实际数据和预测之间的差异范数是4614,误差小于每天10.5例.

图4.在这个图中,通过令,且考虑不同的出生率和死亡率,同样的,红线表示的是来自世界卫生组织的实际数据,蓝线通过分数阶系统(8)得到的.实际数据和预测之间的差异范数是4083,误差小于每天9.3例.

标注5.2

在我们的模型中,为了使得人口数N不变,我们假设出生率和死亡率是相等的.除了2014年埃博拉疫情爆发的几个国家(几内亚,利比里亚,以及塞拉利昂),在另外几个欧洲国家,这个假设可认为是成立的.在未来的研究中,我们将考虑不同的出生率和死亡率,不同的埃博拉疫情模型,产生不定期人口N的模型.通过考虑三个国家的人口数量和他们各自的出生和死亡率,我们已经计算出了整个系统的以下两个值:死亡率,出生率.通过考虑这些值并用代替模型的第一个方程,且剩下方程皆用代替.可得到如图4的数值模拟结果.

参考文献

1. Kermack WO, Mc Kendrick AG. Contributions to the mathematical theory of epidemics I. Proceedings of the Royal Society of London 1927;115:700–721.

2. Kermack WO, Mc Kendrick AG. Contributions to the mathematical theory of epidemics II. Proceedings of the Royal Society of London 1932; 138:55–83.

3. Kermack WO, Mc Kendrick AG. Contributions to the mathematical theory of epidemics III. Proceedings of the Royal Society of London 1933; 141:94–112.

4. Kaufman J,SB,Jones A. https://wiki.eclipse.org/Ebola_Models.Accessed: November 2015.

5. Oldham KB, Spanier J. The Fractional Calculus: Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order. Academic Press, Inc.:New York, 1974.

6. Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications. Gordon amp; Breach Sci. Publishers: Amsterdam, 1993.

7.Ortigueira M.Fractional Calculus for Scientists and Engineers, Lecture Notes in Electrical Engineering. Springer: Dordrecht, Heidelberg, 2011.

8. Li C, Zeng F, Liu F. Spectral approximations to the fractional integral and derivative.Fractional Calculus and Applied Analysis 2012;15(3):383–406. 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

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