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关于自由边界最小问题解的Lipschitz正则性

Aram L. Karakhanyanlowast;摘要：

在本文中，在负性集的“小”密度假设下，我们证明了具有自由边界的单相最小化问题的局部Lipschitz正则性。函数式

其中，和是正常数，使得是集合D的特征函数，是（平滑）域，并且最小值取自的合适子空间。

1. 引言：

设用于规定的平滑函数并考虑能量最小化问题，

（1）

和

这里是有界和平滑域，是正常数，使得是集合的特征函数，即

极小值u应该验证以下超定问题在条件下，在条件下，在上（2），其中分别是u的正负部分，c是正常数，并且边界数据g不一定是非负的。这个问题，通常称为伯努利型问题模型，例如一个或两个完美流体的空化流动，或热量或静电能量优化的平衡配置。问题2的弱解可以通过最小化来获得（参见定理2），我们的目标是分析这些解的规律性u。

由于u沿自由边界跳跃，因此u的最佳预期规律是Lipschitz连续性。在经典情况p = 2中，对应于通常的拉普拉斯算子，这在[ACF]和[DP]中证明对于任何和。在一般情况下Lipschitz规律性的主要复杂的地方是缺乏单调性公式，首先在[ACF]中引入，随后在[CJK]，[CKS]中发展。然而，如果负性集相当小，我们仍然可以证明。估计在建立平坦点附近自由边界的正则性中起着至关重要的作用。然而，在这里我们只专注于证明局部的估计解决方案。本研究的灵感来自最近的一项工作[KKS]和[LS]，其中类似的结果证明了另一个超定问题：对于某类均匀椭圆算子F，有：

在中，，在中。 （3）

我们在这里观察到，与（3）不同的是我们没有pde，（1）中的解u将在Omega;中验证。

1. 准备工作：

本文使用以下符号：是一个平滑有界的域，g是在某些邻域上定义的平滑函数，是常用的Sobolev空间，分别是u的正负部分，是的特征函数，自由边界。令和为两个正常数，使得，其中。考虑函数：

在下文中，我们用表示以下函数：

，

如在经典论文[ACF]中那样，如果gt; 0，则定义，如果gt; 0，则定义。为简洁起见，我们关注案例lt;0。存在（1）的解决方案容易从的较低半连续性开始，如[ACF]。

定理1：设u为的（局部）极小值，那么u是有界的。

证明：首先我们观察一下

（4）

对于给定的，让我们考虑函数。如果u是的极小值，那么它也是的极小值，反之亦然，因为和之间的差是给定域的常数。

现在取，其中，并且是一个小正数。然后取，用测试u，我们得到

注意u和在集合上是不同的，因此最后一个不等式变成

这是一个矛盾，因为lt;0，因此。现在取，其中，为正数。又一次，既然u是最小值我们有

在集合上，其中u和不同，我们有

注意到，因此我们得到

这就意味着。

定理2：。

证明：设和为以下Dirichlet问题的解

在上，在上 （5）

那我们就有了

其中

注意我们也有

因为是有界的，它意味着

（6）

此外，还有来自[DP]

（7）

与（6）一起意味着

（8）

回想一下，根据谐波函数的梯度估计，我们得到了

现在，对于小R和pgt;2，我们有

（9）

然后结合（8）和（9）如[DP]所示，结果如下。

推论1：u是p次谐波。

证明：我们首先注意到，如果检验

在，在

其中，然后用测试u，我们发现

因为u是连续的，集合是打开的，我们可以应用（7）来推断

然而，最大值，单位：BR，在Br中是。因此u是中的p次谐波。

在进一步讨论之前，我们总结了（1）解的一些基本性质。

定理3:让u成为（1）的解决方案。然后有：

在上

在上

对于任何，前提是meas。

这一证明与[ACF]中的证明完全一致。

1. 主要结果：

在本节中，我们假设，由于引入了，我们可以考虑一个新的函数

因此，我们用来确定某个正常数的。接下来，我们定义将要使用的主要函数类。

定义1：设z为定点，0lt;rlt;1。u被称为级如果

1. u是中的局部极小值，
2. ，
3. .

令

定理4：令.存在一个正的通用常数cgt;0，使得

为所有0lt;rlt;1提供了。

证明:

在不丧失一般性的情况下，我们可以假定。这足以证明

（10）

其中。假设有矛盾。然后有整数以至于

（11）

（12）

这里

.表示。

考虑辅助功能定义为

我们首先证明的估计值。设。注意（11）。

对于固定，我们有

（13）

设为gt;0，且为的标准截止函数。那么，如果是一个可接受的试验

函数，并且（ii）得出

重新排列术语，使用不等式后，我们得到

（14）

所以我们得到了Caccioppoli的不等式

（15）

最后一个不等式中取，

对于，选择，固定整数我们有

（16）

，

其中第二个不等式来自（11）。因此，是局部有界的，这意味着对于，

的局部一致估计值。如果，那么Sobolev嵌入定理意味着一致的局

部的估计很大。假设。考虑标度能量函数

（17）

首先，让我们观察一个简单的计算

（18）

因此，是

的一个解。将定理1应用于，我们得到了一致的估计。使用统一的和

估计，我们至少有一个子序列

，在上 （19）

现在我们称是的局部极小值。事实上，对于任何一，

我们有

对（19）我们有

因此也有，我们得到

因此我们得出结论

考虑到的规律性，得出是中的局部极小值。

根据和（12）的定义，我们得到

在上

在上

与强极大值原理相矛盾。

推论2：假设对所有的有，那么是中的

Lipschitz。

证明：令，令有。然后有

，由Harnack不等式在上有。考虑。然后有

在上 ， 在上，.

然后从局部梯度估计。

参考文献：

[ACF] Alt H.W., Caffarelli L.A., Friedman A., Variational problems with two

phases and their free boundaries , Trans. of A.M.S. , 282, no 2, (1984),

431-461 .

[CJK] Caffarelli L.A., Jerison D., Kenig C.E., Some new monotonicity theorems

with applications to free boundary problems. Ann. of Math. (2) 155, no.

2, (2002), 369-404.

10

[CKS] Caffarelli L.A., Karp L., Shahgholian H., Regularity of a free boundary

with application to the Pompeiu problem, Ann. Math., vol. 151, (2000),

269-292.

[DP] Danielli D., Petrosyan A., A minimum problem with free boundary for

a degenerate quasilinear operator, Calc. Var. and PDE, no. 1, (2005),

97-124.

[KKS] Karakhanyan A.L., Kenig C.E., Shahgholian H., The behavior of the Free

Boundary near the fixed boundary for a minimization problem, Part II:

Non-tangential Touch, (manuscript).

[LS] Lee K., Shahgholian H., Regularity of a free boundary for viscosity solutions of nonlinear elliptic equations, Comm. Pure and Appl. Math., vol.

LIV, (2001), 1-14.

[MZ] Malacute;y J., Ziemer W.P., Fine regularity of solutions of elliptic partial differential equations. Mathematical Surveys and Monographs, 51. American

Mathematical Society, Providence, RI, 1997.

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