贝塞尔曲线的范数外文翻译资料
2022-12-08 11:12
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贝塞尔曲线的范数
YUNBEOM PARK 和 BYUNG-GOOK LEE
摘要
我们要描述的是贝塞尔曲线的范数和范数的控制点之间的关系。贝塞尔曲线可以应用在很多一般曲线和曲面的概述上，并且为许多计算机图形系统提供了数学依据。我们为贝塞尔曲线定义了范数然后为其找到了一个关于范数的控制点的上下界，以方便计算。
AMS 数学学科分类标准：65D17，68U05
- 介绍
CAGD—计算机辅助几何设计的缩写—是和一些曲线和曲面的逼近和表达法必须由计算机来处理时的对象相关的。设计曲线和曲面在很多不同的产品生产中起着很重要的作用，例如
车身、船体、飞机、机身和机翼、螺旋桨叶片、鞋子和鞋垫、瓶子等等。而且在地质学、物理学乃至医疗现象的描述也有着重要的作用。在电脑的出现之前,这些设计问题都通过画法几何学来处理。一个曲面是由一组曲线定义的，飞机的零件通常是加上一些特征线。用这些信息足以制造出模板，这些模板是被用来生产模型的。最后的印染是通过仿形铣削的方式在主模型上获取的。用“数值控制”的方式来使这些铣床工作变成了可能。例如，加工指令可以由计算机程序来生成。为了充分利用这种能力，在计算机中存储曲面的定义是很有必要的—适于装入程序的形式。那么问题来了，怎样将现有的曲面定义转化为“计算机化”的格式呢？例如，怎样设计一个“数学模型”。
人们意识到“古典”曲面的描述也可以被完全废除，因为概念设计阶段已经可以通过计算机来实施，比如“CAD”。
CAGD所作出的贡献已经有很多种了，例如在自然科学领域。一个常见的问题就是把一个曲面适用到从测量实验得到的数据中去。一个典型的例子就是地理学:在某地测量得出了一些温度，而我们想要得到整个地区的温度分布。
贝塞尔曲线基本上很广泛地运用于CAGD。贝塞尔曲线是由P.德 卡斯特里奥于1959【2】年和P 贝塞尔于1962【1】年提出的。基础数学理论是基于伯恩斯坦多项式的概念的。德 卡斯特里奥直接利用了这种关系。但是直到1970年R.弗雷斯特【6】才发现了贝塞尔的成果和伯恩斯坦多项式之间的关联。贝塞尔和德卡斯特里奥发展了他们的作为CAD系统的一部分的理论。而这些理论建立起来后是被用在两家法国汽车厂商上的，分别是雷诺和雪铁龙。雷诺系统UNISURF（由贝塞尔提出）很快就被一些出版物发表。所以这个基础理论就以贝塞尔的名字命名。贝塞尔曲线和曲面现在是许多CAD系统的数学基础，也发展成了描述曲线和曲面的新方法的主要工具。法林【5】总结了这个基本理论并且提供了许多有关引用。
- 贝塞尔曲线的距离
贝塞尔表达法用伯恩斯坦多项式作为多项式的线性空间的基函数。按照n阶伯恩斯坦多项式为：
一个平面上的n阶参数多项式曲线（ngt;0），可以表达为
点被称为多项式的控制点，通过加入连续控制点形成的多边形称为控制多边形。要注意的是相应的t=0和t=1时，和是曲线的端点。我们可以把这些特殊的点称之为锚点。另外，向量定义曲线的切线分别为两个锚点。
在很多实际应用中，我们必须计算两条贝塞尔曲线的距离。最合适的度量几何术语是豪斯多夫距离【3】。假设（M，d）是一个度量空间的子集合A和B。我们定义豪斯多夫度量为：
其中
如果我们把一个平面曲线看作是很多没有任何基本参数化的点的轨迹，那么这两条曲线的豪斯多夫度量本质上是最大的圆的半径，这个圆的中心在一条曲线上并且与另外一条曲线接触。对于一般参数曲线来说，这种方法是真正独立的两条相对参数化的曲线。埃默里【4】提出了一种豪斯多夫度量显式计算折线边界的方法，但是计算两条非线性曲线的豪斯多夫距离并不容易。我们就来定义和使用贝塞尔曲线的范数。
- 贝塞尔曲线的范数
首先我们以贝塞尔曲线的功能用例来计算两条贝塞尔曲线的距离。使作为n阶和m阶贝塞尔曲线的函数(mlt;n)，例如：
其中系数是实数。两条贝塞尔曲线的距离定义为：
用以下等式我们可以把的次数从m提高到n
然后，m阶曲线被重新写为n阶曲线
所以距离为
所以，我们计算了n阶（函数）贝塞尔曲线的范数。
伯恩斯坦多项式的结果就是
积分就是
从等式（1）和（2），我们得到以下计算函数贝塞尔曲线的范数：
使(n 1) times; (n 1)矩阵为
然后，函数贝塞尔曲线的范数为
其中b是系数向量，
向量是一个正定实对称矩阵。以下引理告诉我们实对称矩阵的等价条件是正定矩阵【7】。
引理 1. 以下每一个测试对实对称矩阵A成为正定矩阵都是必要和充分条件：
- 对所有非零向量x，
- A的所有特征值为正
- 所有左上角余子式有正的行列式
正定实对称矩阵A的瑞利商的上下界
是矩阵A最大和最小特征值：
其中是矩阵A的特征值【8】。
从这些结论中，我们得到以下函数贝塞尔曲线的范数和范数的系数向量间关系的定理。
定理1. 使成为n阶函数贝塞尔曲线，并且成为的系数向量。下列不等式成立：
是矩阵的特征值。
在向量值情况下，贝塞尔曲线的范数的定义为
其中||.||是定点t的欧几里得范数
分离的系数向量的范数，为
其中||.||是定点k的欧几里得范数
利用不等式（3），我们在得到了相同的结果。
定理2. 使成为n阶（向量值）贝塞尔曲线并且是的系数向量。则下列不等式成立：
其中是矩阵的特征值。
如果贝塞尔曲线的所有y分量都等于0，那么我们可以把有向量值贝塞尔曲线当作泛函数。即，定理2是定理1的一般化。
参考文献
1. P. Bacute;ezier, Numerical Control, Mathematics and Applications, Wiely, New York,
1972.
2. F. de Casteljau, Outillage macute;ethodes calcul, Andracute;e Citrouml;en Automobiles SA,
Paris, 1959.
3. J. Dugundji, Topology, Allyn and Bacon, Boston, 1966.
4. J. D. Emery, The definition and computation of a metric on plane curves,
Comput. Aided Des. 18:25-28 (1986).
5. G. Farin, Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, Academic
Press, New York, 1988.
6. A. R. Forrest, Interactive interpolation and approximation by Bacute;ezier polynomials,
Comput. Aided Des. 22:527-537 (1990).
7. G. Strang, Linear Algebra and its Applications 2e., Academic Press, New York,
1980.
8. R. S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J.,
1962.
数学教育学院 应用数学学院
西原大学 东西大学
CHONGJU,361-742 PUSAN，617-746
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