英语原文共 10 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

一类带波动算子的非线性薛定谔方程的一个守恒差分格式

摘要

该文对一类带波动算子的非线性薛定谔方程的初边值问题提出了一个有效的显式差分格式，证明了该格式的守恒性和稳定性。该格式满足四阶的离散守恒律。

关键词：波动算子；非线性薛定谔方程；算法格式；收敛性

1. 引言

文[1]及相关参考文献在对类带波动算子的非线性薛定谔方程考虑数值计算问题时，构造了一个隐式有限差分格式，用此格式计算了下面的初边值问题

的数值解。其中是复函数，是实常数，和是实函数，。本文将进一步考察上述问题的数值问题。

计算与的内积，然后取实部，我们得到以下守恒律。

其中L取整数域，

已知对三次非线性薛定谔方程求数值解时守恒的数值格式比不守恒的数值格式能够较好的进行数值计算。张等人在文[2]中指出不守恒的数值格式可能更容易出现非线性爆破，他们构造了一个非线性薛定谔方程的守恒差分格式和两个Sine-Gordon方程[3]的守恒差分格式。文[4]和[5]中考察了正则长波方程的守恒差分格式。文[6]-[10]对广义非线性薛定谔方程、Klein-Gordon方程和Zakharov方程构造了守恒的有限差分格式，都得到了很好的数值结果。然而，文[1]的差分格式是不守恒的，而且代数计算量较大。因此，本文构造了一个守恒的差分格式，并证明该数值算法的收敛性和稳定性。

本文结构如下，在第二节构造一个显式的差分格式，第三节对数值解做出先验估计，第四节证明该差分格式的收敛性和稳定性。

1. 有限差分格式及其守恒律

为了方便，首先引入如下记号

其中和分别是空间和时间步长，表示一般常数，且在不同地方可以有不同的值。

下面我们构造如下的有限差分格式：

其中.

为得到离散的守恒律，我们引入下面的引理：

引理2.1. 对任意两个网格函数有如下等式：

引理2.2. 对所有满足方程的网格函数，下列等式均成立：

证明：

通过移项可得到.从中可得

故而得证。

由引理2.1和方程我们可以得到

定理2.1.差分格式满足如下守恒律：

证明：计算与的内积，然后取实部得到

这里用到了引理（2.2）和边界条件，式得证。

1. 数值解的先验估计

首先，文[11],[12]介绍了两个引理。

引理3.1.设是网格函数，对于已知的，总存在一个依赖于的常数使得

，

引理3.2.设非负网格函数满足不等式

，

其中为非负常数，则对于任意的，有

引理3.3.设

则有如下估计，

证明：

由方程和引理条件，可得

由可得

其中

.

因此，

把代入，可得到

其中

.

因为

,

可得到

将与方程相乘，并对求和，对结果取实部，可得

由，可得到下面的不等式

将式与式相加，我们可以得到

即

根据引理3.2，当足够小时该引理即成立。

推论：如果满足引理3.3的条件，则

.

证明：由引理3.1及引理3.3可知推论成立。

1. 格式的守恒性及稳定性

设

则有

由泰勒展开，可以很容易得出

引理4.1.设，则差分格式的截断误差是.

现在我们来分析格式的守恒性。

定理4.1.在引理3.3.和引理4.1的条件下，差分格式的数值解按模收敛到 定解问题 的解，收敛阶为.

证明：设

.

式减得

计算式与的内积，然后取实部得

对式求和可得

然后估算方程右边的第一项和最后两项，

由，易证

注意

类似于引理3.3对结果进行估计，可得

由引理3.2，当足够小且满足时，则有

即可得

最后，由引理3.3可得.

守恒律得证。

定理4.2.在定理4.1的条件下，守恒差分格式对初值依模是稳定的。

证明：设差分问题的解满足式和的边界条件，但且.

令，与定理4.1类似，我们可以由设定边界方程及初值条件，对于给定的较小值，可得 .

即证明差分格式的稳定性。

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

资料编号：[31671]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word