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Shao-Kai Luo · Yan-Li Xu

分数Birkhoffian力学

收到:2014年6月16日/修改:2014年7月17日斯普林格出版社维恩2014年

文摘中,我们提出一个新的部分的动力学理论,也就是说,Birkhoffian系统的动力学部分衍生品(部分Birkhoffian力学),它给出了一个通用的方法,来构造一个部分的动力学模型的实际问题。通过使用综合分数导数的定义,我们提出一个统一的分数普法夫行动和一个统一的分数Pfaff-Birkhoff原则,并给出四种分级Pfaff-Birkhoff原则根据分数导数的定义不同。然后,利用分数Pfaff-Birkhoff原则,建立一系列分数Birkhoffian方程与不同部分衍生品和构建自主分数Birkhoffian方程的张量表示。进一步,我们研究之间的关系部分Bikhoffian系统,部分哈密顿系统和分数拉格朗日体系和转换条件。此外,应用程序的部分Birkhoffian方法,我们构建五种分级动态模型,其中包括部分洛特卡生化振荡器模型,分级维特克模型,分级Hojman-Urrutia模型,分级Henon-Heiles模型和部分埃姆登模型。

1 介绍

随着科学技术的发展,介绍了哈密顿动力系统不仅一直扮演着重要的角色在现代力学,而且在物理、数学、工程科学、非线性科学、天体力学和社会科学(1 - 11)。1927年,美国数学家比尔科夫给哈密顿系统的扩展,提出了一个新的积分变分原理和一种新形式的运动方程在他的著名的作品[12]。1978年,美国物理学家Santilli进行主要研究Birkhoffian系统,得到了一些结果。除了泛化伽利略的相对论,Santilli研究Birkhoffian方程,Birkhoffian方程的变换理论等等(13

、14)。1992年,梅和他的同事Birkhoffian动力学的理论框架构建[15 - 17]。伯克霍夫动力学比哈密顿动力学更普遍。哈密顿动力学已经广泛应用于许多科学与工程领域中,所以Birkhoffian动力学也应该扮演更重要的角色在这些领域,应用于非线性动力学系统]17 - 21(区间,相对论系统[22],旋转相对论系统(23、24)和量子系统[25],等。

部分动力系统不仅可以更真正揭示自然现象,但也更接近工程实际。在1970年代末,曼德布洛特[26]发现,自然界中存在大量的分数维的例子。自那时以来,部分动力学的研究已成为一个热点话题,并赢得广泛发展的理论和应用,包括部分拉格朗日力学、分数、哈密顿力学,部分非完整动力学系统和分数广义哈密顿力学(27-43)及其应用[44-50]。为了更好地解决部分维度科学和工程中存在的问题,有必要提出一个分数Birkhoffian系统的动力学理论。

在本文中,我们提出一个新的部分的动力学理论,即分数Birkhoffian力学,给出一个通用的方法构造一个部分的动力学模型与科学和工程的实际问题。第2节简要介绍分数阶导数及其性质。

在教派。3,我们现在统一分级Pfaff-Birkhoff原则并给出四种分级Pfaff-Birkhoff原则根据分数导数的定义不同。

在教派。4中,我们建立了分级Birkhoffian方程基于分数导数的定义不同,分别。

第5节探讨自治分数阶伯克霍夫方程的张量表示。

第六节讨论了分数Birkhoffian系统之间的关系,部分哈密顿系统和分数拉格朗日体系,给出了转换条件。

在应用程序a e教派。7 - 11,利用分数Birkhoffian方法,我们构建五个新类型的分级动态模型,其中包括部分洛特卡生化振荡器模型,分级维特克模型,分级Hojman-Urrutia模型,分级Henon-Heiles模型和部分大白鹅模型,

分别。第12节载有结论

2分数阶导数及其性质

部分衍生品和它们的属性介绍Riemann-Liouville,卡普托,Riesz-Riemann-Liouville和Riesz-Caputo衍生品与分数Birkhoffian方程。假设函数f(xi;)是连续和可积在每一个有限区间(t),和每一个有限区间(t, b),左和右Riemann-Liouville衍生品

（1）

（2）

左右卡普托导数是

（ 3 ）

（ 4 ）

Riesz-Riemann-Liouville和Riesz-Caputo导数是

（5）

（6）

这里,D是传统的导数算子,alpha;是分数导数的顺序,这样nminus;1le;alpha;lt; n。alpha;是一个整数时,通常使用整数阶导数的定义。注意一个常数的Riemann-Liouville导数不为零,但卡普托一个常数的导数为零,alpha;= 1,左导数是负的右导数。

当我们想处理动力系统表现出时间之箭,我们需要考虑操作员D t和t Dbeta;alpha;b;为了跟踪过去和未来的动态,有必要考虑不同数量的来自过去和未来的信息。结合Riemann-Liouville分数算子的定义包括左和右部分衍生品是[33]

（7）

这里gamma;isin;[0,1],gamma;意味着分发大量的左边和右边部分衍生品,可根据需要分布。由式(7)，我们到 （8）

（9）

（10）

(7)式也适用于Caputo导数:

（11）

从式(11)中，我们得到

（12）

（13）

（14）

从方程式。(10)和(14),我们可以知道,结合Riemann-Liouville导数可以减少Riesz-Riemann-Liouville导数。同样,结合卡普托导数可以减少Riesz-Caputo导数。

在接下来的讨论中，我们将需要分部分式积分的公式。这些公式给出[32]

. (15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

3 统一分式Pfaff-Birkhoff原理

Pfaff-Birkhoff原理是构造birkhoff方程的重要基础[13-15]。在本节中,我们定义了一个统一的分数普法夫行动和提供一个统一的分数Pfaff-Birkhoff原则。然后,在此基础上统一的分数Pfaff-Birkhoff原则,我们给四分Pfaff-Birkhoff原则根据分数导数的定义不同,分别

假设的局部坐标机械系统是由Birkhoffian变量nu;(nu;= 1,2,hellip;hellip;, 2 n)。伯克霍夫函数是B (t, a)，伯克霍夫函数nu;(t, a)。我们定义了一个统一的分数Pfaff作用

（21）

在同时变分的情况下，下列方程

(22)

称为统一分式Pfaff-Birkhoff原理。

案例A:基于Riemann-Liouville导数的定义(1)和(2),用情商。(7)、普法夫行动(21)的变化

(23)

统一分数阶Pfaff-Birkhoff原理(22)可以写成

. (24)

方程(24)分数Pfaff-Birkhoff原理结合Riemann-Liouville导数的定义。

案例B:根据Riesz-Riemann-Liouville导数(5)的定义，Pfaff作用量(21)变为

(25)

统一分数阶Pfaff-Birkhoff原理(22)可以写成. .

(26)

式(26)称为用Riesz-Riemann-Liouville导数定义的分数阶Pfaff-Birkhoff原理。

案例C:基于卡普托导数的定义(3)和(4),使用Eq。(11)、普法夫行动(21)的变化

(27)

统一分数阶Pfaff-Birkhoff原理(22)可以写成

.

. (28)

式(28)称为用组合Caputo导数定义的分数阶Pfaff-Birkhoff原理。

案例D:根据Riesz-Caputo导数(6)的定义，Pfaff动作(21)变化为

. (29)

统一分数阶Pfaff-Birkhoff原理(22)可以写成

. (30)

式(30)称为用Riesz-Caputo导数定义的分数阶Pfaff-Birkhoff原理。

当alpha;，beta;→1时，我们有

(31)

则分数阶Pfaff-Birkhoff原理(22)、(24)、(26)、(28)、(30)分别可简化为

整数Pfaff-Birkhoff原理[14,15]

（32）

4 基于分数阶导数不同定义的分数阶伯克霍夫方程

在不同的分数阶导数定义下，使用上述不同的分数阶Pfaff-Birkhoff

原理，我们可以选择相应的分式积分公式，构造分式积分

Birkhoffian方程,分别

4.1 Riemann-Liouville组合导数定义的分数阶伯克霍夫方程

将式(24)展开，得到

(33)

当0 lt;alpha;，beta;lt; 1时，利用方程。(15)和(16)我们有

(34 )

（35)

用方程式。(34)、(35)式(33)可以表示为

(36)

根据积分区间[a, b]的任意性，我们得到

(37)

式(37)称为分数阶Pfaff-Birkhoff-D用组合黎曼-定义的Alembert原理刘维尔导数。

根据delta;amu;的独立性，我们有

(38)

式(38)称为以Riemann-Liouville组合形式定义的分数阶伯克霍夫方程导数。

当gamma;= 1时，将式(38)简化为黎曼-定义的左分数阶伯克霍夫方程刘维尔导数 (39)

当gamma;= 0时，式(38)简化为Riemann -定义的右分数阶伯克霍夫方程刘维尔导数

(40)

注意黎曼-刘维尔导数和卡普托导数都会自动出现在方程式中。(37)-(40)当泛函只包含黎曼-刘维尔导数时。

如果伯克霍夫函数Rnu;不包括时间t，则方程。(38) -(40)被简化为自治分数用黎曼-刘维尔导数定义的伯克霍夫方程。

4.2 Riesz-Riemann-Liouville导数定义的分数阶伯克霍夫方程将式(26)展开，得 (41)

当0 lt;alpha;lt; 1时，利用式(19)，有

(42)

用方程式。(41)，(42)可以表示为

(43)

根据积分区间[a, b]的任意性，我们有

(44)

式(44)称为分数阶Pfaff-Birkhoff-D用Riesz-Riemann -定义的Alembert原理刘维尔导数。

根据delta;amu;的独立性，我们得到

(45)

式(45)称为Riesz-Riemann-Liouville定义的分数阶伯克霍夫方程导数。

注意，Riesz-Riemann-Liouville导数和Riesz-Caputo导数都会自动出现在方程式中。(44)和(45)即使泛函只包含Riesz-Riemann-Liouville导数。

事实上，选择gamma;= 1/2和beta;=alpha;，Eq.(45)也可以由Eq.(38)得到。

如果Birkhoff函数Rnu;不包括时间t，则将式(45)简化为自治分数阶Birkhoff函数用Riesz-Riemann-Liouville导数定义的方程。

4.3结合Caputo导数定义的分数阶伯克霍夫方程将式(28)展开，得到

(46)

当0 lt;alpha;，beta;lt; 1时，利用方程。(17)和(18)，我们有.

(47)

(48)

.用方程式。(47)、(48)式(46)可以表示为

(49)

根据积分区间[a, b]的任意性，我们得到

(50)

式(50)称为分数阶Pfaff-Birkhoff-D阿朗贝尔原理定义的结合卡普托的导数。

根据delta;amu;的独立性，我们有

(51)

方程式(51)被称

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