索伯列夫(Sobolev)空间探讨开题报告

 2020-02-10 10:02

1. 研究目的与意义(文献综述)

在研究偏微分方程中,往往需要运用泛函分析的相关知识,因此需要找到一个合适的空间。在索伯列夫空间中,偏微分方程的解得到了某种意义下的“弱化”,这导致可以在更大的空间中求偏微分方程的解以及解的正则性等性质。苏联数学家索伯列夫(s.l. sobolev)从1938年开始,在研究弹性体中的波动等问题时,建立了一系列新的概念,例如广义解,广义导数,嵌入定理等。他以泛函分析为工具发展了一套新型的可微函数空间空间理论,同时他也为偏微分方程的近代研究奠定了理论基础。索伯列夫这些开创性的工作在他的名著“泛函分析及其在数学物理中的应用”中。基于上述索伯列夫卓越的工作,偏微分方程的解的存在唯一性问题,就分解成了某个索伯列夫空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题,从而解决了一些偏微分方程的定解问题。特别是在非线性偏微分方程中,由于直接寻找古典解是相当困难的,而寻找弱解相对容易,进而确定弱解的正则性后就能获得古典解。另一方面,在偏微分方程的数值计算中,现在比较流行的方法,如有限元法和有限体积法,它们的理论基础就是广义函数与索伯列夫空间。它们都是利用守恒原理,在偏微分方程两边于某个区域进行积分,再进行一定的化简,将其等价地化为一个变分问题,再在某个索伯列夫空间中求解这个变分问题。在一定意义下,变分问题的解就是其对应的偏微分方程的广义解。我们可以证明,若偏微分方程的解满足一定光滑性,则如此得到的解正是偏微分方程的古典解,即此时广义解(弱解)与古典解等价。同时在物理学、力学及工程技术领域,许多时候,广义解具有具体的实际意义。在某种情况下,找到了广义解,也就解决了实际问题。弱导数及索伯列夫空间的建立,很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展,在偏微分方程发展中揭开了新的一页!

现阶段关于索伯列夫空间的研究主要集中在索伯列夫空间的推广,索伯列夫空间上重要定理如嵌入定理,等价模定理,迹定理的应用,一些数学理论如微分方程,小波分析在索伯列夫空间下的分析等。


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2. 研究的基本内容与方案

本研究主要探讨索伯列夫空间理论以及其在偏微分方程理论中的一些应用,主要包括基本函数空间上的广义函数及其弱导数和傅里叶变换,整指数的索伯列夫空间,实指灵敏的索伯列夫空间以及其在偏微分方程中的应用等内容。为了更好地探讨索伯列夫空间理论,本研究从基础入手,循序渐进,从一般的基本函数空间逐步引入索伯列夫空间。首先关于索伯列夫空间建立地背景及意义,即为什么要建立索伯列夫空间,然后介绍索伯列夫空间的概念及基本性质,随后介绍索伯列夫空间中比较重要地定理,如嵌入定理,最后介绍索伯列夫空间的一些应用。

本研究大致包括以下方面:

为什么要建立索伯列夫空间

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3. 研究计划与安排


1-3周:查阅文献,完成开题报告

4-6周:总体设计,完成论文综述及论文框架

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4. 参考文献(12篇以上)

[1] 陈祖墀. (2008). 偏微分方程 (第3版 ed.). 北京: 高等教育出版社.

[2] 王元明,徐金祥.索伯列夫空间讲义[m].东南大学出版社.2003.

[3] maz'ya,vladimir g. sobolev spaces. with applications to elliptic partialdifferential equations, grundlehren der mathematischen wissenschaften, 342 (2ndrevised and augmented ed.), berlin–heidelberg–new york: springer verlag,2011.

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