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文献综述

差分方程的应用范围在这个强调“大数据”的时代愈来愈广泛——我们描述实际对象的某些特性随时间或空间而演变的过程,例如人口演变,物种的相互依存、竞争、弱肉强食,可再生资源的持续发展等问题.^[1]利用微分方程来分析它的变化规律,预测它的未来趋势,从而研究对它的控制手段.大多数的微分方程是无法求出其解析解的,而且对于某些实际问题我们也没有必要求出方程的解去寻求每个时刻的状态,只需要研究当时间充分长了之后动态过程的变化趋势.比如在什么样的条件下会趋于某个特定的数值或者在什么条件下它会离这个特定数值越来越远.对于这样的问题,我们就不需要去求解微分方程,只是利用微分方程的稳定性理论,通过对平衡状态的稳定性讨论就可以得出一个简单实用的结论.

一、差分方程的概念

差分：对于数列,称在处的前向差分为差分算子：.并且称在处的后向差分为差分算子：. 则 处的二阶差分为的差分,即：,它反映的为量的增量.同羊可以定义在n处的k阶差分为：.^[2]

差分方程的解：

若将某函数代入形式如:

或

的差分方程,让方程两边相等,那么就称此函数为差分方程的解,若是差分方程的阶数与此方程的所有解中拥有互相独立的任意常数的个数相同,那么就称此解释差分方程的通解,以便体现在变化过程中某一事物的客观规律性,通常依据此事物在初始时刻所处情况,在差分方程上添加一定的条件,称此为初始条件,若初始条件确定了通解中任意常数后,此解称之为差分方程的特解^[3].

二、差分方程常用解法

有方程：