摘 要

由于振荡序列具有的随机性和不稳定性会导致传统灰色模型难以得到满意的预测效果，所以对于传统的灰色模型有很大的改进空间。r 阶 GM(1, 1 | sin) 模型是基于参数 p 和累加阶数 r 确定的前提下建立的。通常，p和r的值是不同的，模型的模拟精度也会相应不同。

相对误差是判断灰色预测模型模拟效果的常用标准。 本文为达到最优的模拟效果,拟以平均相对误差最小化为目标,模型参数之间的关系以及 p 和 r 自身的取值范围为约束,建立非线性优化模型，采用猫群优化求解得到最优参数，使新模型对振荡序列的预测效果好于现有的 GM(1, 1 | sin) 模型,并且达到较高的精度。

本文的特色：一方面利用了分数阶蕴含着的 “in between” 思想，即分数阶导数，是介于零阶导数和一阶导数之间的导数，介于两者之间，在某一程度上，拥有两者的部分优势，能充分利用系统的新信息; 另一方面利用了对白化方程推导的方式构建模型, 能有效减少模型从离散到连续的转换中所带来的误差。

关键字： 灰色预测模型；猫群优化；振荡序列；平均相对误差

Abstract

Due to the randomness and instability of the oscillation sequence, it is difficult to obtain a satisfactory prediction effect by the traditional gray model, so there is much room for improvement of the traditional gray model. The r-order GM(1, 1 | sin) model is established based on the parameters p and the cumulative order r. Usually, the values ​​of p and r are different, and the simulation accuracy of the model will be different.

Relative error is a common criterion for judging the simulation effect of gray prediction models. In order to achieve the optimal simulation effect, this paper intends to minimize the average relative error, the relationship between the model parameters and the range of values ​​of p and r itself as constraints, establish a nonlinear optimization model, and use the cat group optimization solution to get the most The superior parameters make the new model predict better than the existing GM (1, 1 | sin) model and achieve higher precision.

The characteristics of this paper: on the one hand, the use of the "in between" thought of the fractional order, that is, the fractional derivative, is the derivative between the zero derivative and the first derivative, between the two, to some extent .On the other hand, having some of the advantages of the two, can make full use of the new information of the system; on the other hand, using the method of deriving the whitening equation to construct the model can effectively reduce the error caused by the transition from discrete to continuous.

Key Words： grey model；cat swarm optimization；oscillatory sequence；average relative error

目 录

第1章 绪论 1

1.1选题背景及意义 1

1.2国内外研究现状 1

1.3本文研究内容 2

第2章 灰色模型简介及其误差分析 3

2.1灰色模型简介 3

2.2灰色模型误差分析 4

第3章 基于猫群优化的分数阶灰色模型 6

3.1离散灰色模型的建立 6

3.2基于猫群优化的灰色模型的无偏性 7

第4章 确认参数的算法及案例 9

4.1 r 阶灰色模型参数p 和累加阶数r 的确定 9

4.2案例分析 11

4.2.1案例1：工业污染物排放 11

4.2.2案例2：大型企业的工业销售价值 13

4.2.3案例3：清洁能源消耗 15

4.3案例研究概要 17

第5章 总结 18

参考文献 19

致 谢 20

第1章 绪论

1.1选题背景及意义

灰色GM(1,1| sin)模型因其在小样本时间序列预测中的高效性而引起了人们的广泛关注。由于振荡序列具有随机性和不稳定性的特点，传统灰色模型往往难以得到满意的预测效果。

1.2国内外研究现状

20针对此问题，李亚男教授在已有 GM(1,1| sin) 模型的基础上, 利用分数阶算子对原始序列进行累加生成的方法, 获得了分数阶累加 GM(1,1| sin) 模型的表达式; 以平均相对误差最小化为目标, 利用粒子群算法求解非线性优化问题, 获得了模型的最优参数。庞增拴等人提出了多变量分数阶灰色预测模型，分数阶的引入将累加灰色模型从整数域推广到实数域，弱化了原始数据序列的随机性，增强了预测精度。刘基伟等人，通过引入分数阶经典弱化缓冲算子，建立线性时变参数离散灰色模型，最后比较了不同缓冲算子间对模型预测精度的影响。吴利丰等以离散灰色模型为例,利用最小二乘问题解的扰动理论证明了灰色一阶累加方法在扰动相等的情况下,原始序列样本量较大,解的扰动界较大;样本量较小,解的扰动界较小。为了使离散灰色模型解的扰动界变小，曾亮构建了一阶反向累加非等间距GM(1,1)模型(简称为非等间距GOM(1,1)模型),并给出了模型参数的最小二乘解和可用于预测的离散时间响应式。为进一步提高模拟预测精度,利用分数阶累加思想,提出了分数阶非等间距GOM(1,1)模型。以平均模拟相对误差最小化为目标,建立非线性规划模型可求解得到最优阶数。最后,以数值模拟和钛合金疲劳强度随温度变化预测为例,证实了该文提出模型的有效性和实用性。Mao, SH; Chen, Y; Xiao, XP等人在分析单变量分数阶累加生成和累减生成的基础上,推导多变量分数阶累加生成的计算公式,建立多变量分数阶累加灰色模型FMGM(1,n),给出基于最小二乘法估计模型参数。以分数阶数为设计变量,以最小平均相对误差为目标函数,建立优化模型,以Matlab为平台编写优化求解程序.多变量分数阶累加灰色模型FMGM(1,n)模型是单变量的FGM(1,1)模型在多变量情况下的自然推广,旨在反映各变量间相互制约、相互促进的关系。以上拓展模型在各自应用中都取得了更好的模拟预测效果, 具有一定的实用性。

1.3本文研究内容

由于振荡序列具有的随机性和不稳定性会导致传统灰色模型难以得到满意的预测效果，所以对于传统的灰色模型有很大的改进空间。r 阶 GM(1, 1 | sin) 模型是基于参数 p 和累加阶数 r 确定的前提下建立的。通常，p和r的值是不同的，模型的模拟精度也会相应不同。

相对误差是判断灰色预测模型模拟效果的常用标准。 本文为达到最优的模拟效果,拟以平均相对误差最小化为目标,模型参数之间的关系以及 p 和 r 自身的取值范围为约束,建立非线性优化模型，采用猫群优化求解得到最优参数，使新模型对振荡序列的预测效果好于现有的 GM(1, 1 | sin) 模型,并且达到较高的精度。

本文的特色：一方面利用了分数阶蕴含着的 “in between” 思想，即分数阶导数，是介于零阶导数和一阶导数之间的导数，介于两者之间，在某一程度上，拥有两者的部分优势，能充分利用系统的新信息; 另一方面利用了对白化方程推导的方式构建模型, 能有效减少模型从离散到连续的转换中所带来的误差。

第2章 灰色模型简介及其误差分析

2.1灰色模型简介

定义1 给定任意非负序列 ，

称 为 X⁽⁰⁾ 的一阶累加生成序列, 其中

称为的紧邻均值生成序列, 其中

定义2 方程

x⁽⁰⁾(k) az⁽¹⁾(k) = b₁ sin pk b₂ (2)

称为GM(1, 1 | sin) 模型. 将一阶微分方程

称为GM(1, 1 | sin) 模型的白化方程。

当为初始级数的r阶分数累加时，等式(3)被称为此模型的白化方程。当r=1时，该模型得到了现有的灰色模型，其中卷积积分在[4]中提出。最初的模型通常将延迟时间视为rp，但在大多数情况下，此项取0。因此，在不丧失一般性的情况下，本文也省略了这个术语。当r=1，u=0时，分数多元卷积灰色模型得到[5]中给出的传统多元灰色模型。当r=1和n=1时，该模型得出[9]中给出的基本灰色模型；当r=1和x（r）（t=t时，它得出[10]中给出的非均匀灰色模型。在最特殊的情况下，它通过取r=1并删除一阶导数，得出[11]中所示的静态多变量灰色模型。综上所述，分数多元卷积灰色模型可以看作是现有灰色模型的一般形式。

通过对白化方程（3）进行积分，并在区间[k-1，k]中采用两点梯形公式，可以得到现有分数阶灰色模型的离散形式为：

其中成为背景值，定义为：

参数可用最小二乘法估计为：

其中

取，求解式（3），可以得到连续时间响应函数：

其中

连续响应函数在应用中是不可计算的，因此给出如下响应函数：

最后，预测值可以通过使用逆分数阶累加得出：

一旦给定在时间1~s内，阶数r，观测值样本，就可以构建矩阵B，Y，使用最小二乘解(5)式来计算参数。然后利用响应函数（6）和逆分数阶累加（7）得到输出序列的预测值。

2.2灰色模型误差分析

可以看出，现有的分数多元灰色模型仍然遵循灰色模型的模式，如[5]所示，“偏微分偏差”，这种模式是传统灰色模型（如GM（1，1））的基本误差源。文献[7]报道，现有的卷积积分灰色模型由于其离散响应函数不满足其增白方程的离散形式，是一个有偏模型，这种不一致性可能在应用中引起较大误差。因此，它与现有的具有卷积积分的灰色模型具有相似的建模过程，因而也存在不一致性，具体分析如下。

表 1

用于生成测试数据的输入序列

与[7]中的分析类似，我们将离散响应函数（6）替换为现有分数多元灰色模型（4）的离散形式，则（4）的左侧实际上是：

如果离散响应函数（6）满足离散形式（4），则对于所有的，都有其中 是(4)式右边的离散形式。很明显，这种等价性不成立，根据[7]它只适用于非常小的情况，当很大时，建模误差会非常大。

为了更好的解释，我们提供了一个简单的数值例子来说明不一致性如何影响分数多元卷积灰色模型的精度。采用文献8中用于生成测试数据的输入序列（表1）。输出序列的数据由离散响应函数（6）和预测值(7)生成，其中参数r和在区间[−2，2]中采用步数0.01，参数和初始值 分别以均匀分布随机生成。，，，以此类推。

平均绝对百分比误差（MAPE）用于评估建模精度，定义为

验证结果如图1所示。可以看出，在大多数情况下，分数多元卷积灰色模型预测的MAPE值都很大，这表明对这种理想生成的数据进行拟合是不准确的。另一方面，我们可以很清楚地看到，分数多元卷积灰色模型预测的MAPE在=0附近比其他情况小得多。这种情况与上述理论分析相吻合。由此可见，卷积积分分数多元灰色模型是一个有偏模型，其适用性有限。

第3章 基于猫群优化的分数阶灰色模型

3.1离散灰色模型的建立

可以注意到，分数多元卷积灰色模型的离散形式是通过积分的数值逼近得到的。另一方面，研究表明，离散灰色模型也可以用导数的近似值来建立。白化方程（3）中的一阶导数可近似为

这种近似通常被称为一阶后向差（见[12]第174页）。这一操作在以往灰色模型的文献中也经常出现。

t=k时，白化方程（3）的左侧可以改写为

把（9）代入（3），我们得到

也可以写成

取以及，我们有以下离散公式：

本文将离散方程（10）称为分数离散多元灰色模型。

该模型也是现有灰色模型的一种通用形式。当r=1时，所提出的模型产生非分数离散灰色模型，如[13]所示。当n=1时，该多元离散灰色模型退化为基本的单变量离散灰色模型[14]，当n=1，时，该模型可转换为非齐次离散灰色模型[15]。另一方面，当r1时，该模型也可转换为现有的分数阶离散灰色模型。同样，当n=1时，所提出的模型产生了[16]中提出的基本分数离散灰色模型。当n=2，时，该模型退化为[17]中提出的非齐次分数阶离散灰色模型。总之，所提出的模型代表了现有离散灰色模型的一般公式。