摘 要

结构优化问题广泛存在于土木工程设计、汽车设计、机械设计及具体施工等工程实践中。

本文第一章阐述了研究结构优化问题的目的和意义，综述了求解结构优化问题的主流的对目标函数和约束函数的可分离变量逼近法，如CONLIN，移动渐近线法(MMA),不完全级数展开法(ISE)等，并着重介绍了ISE。

第二章与第三章是本文的重点，在第二章我们充分利用函数值与梯度值信息改进了不完全级数展开方法，构造了两种不完全Taylor类逼近, 从而给出两类新的不完全级数展开法。我们的不完全类Taylor逼近可以保证生成凸变量可分离近似原始问题，形成序列近似优化，从而利于使用Falk对偶求解。对直接设计变量进行倒数干涉变换可以得到更能反映目标函数曲率的近似，还能利用直接设计变量、倒数干涉变量或者指数干涉变量的组合来获得高效的逼近方法。 第三章中我们详细给出提出的各种逼近在Falk对偶下求解原问题的序列子问题的公式解。由于严格凸问题的Falk对偶与原问题没有间隙，从而算法可以保证收敛到稳定点。

在第四章，我们用MATLAB编写所提出的算法进行数值试验，对结构优化中的一些典型例题做了数值计算。数值结果表明我们所提出的算法与MMA, ISE算法相比数值效果较好，从数值上验证了新算法有效。

最后我们对论文进行了总结并指出了进一步研究的展望。

关键词：结构优化；序列近似优化；不完全Taylor展开；Falk对偶;

Abstract

Structural Optimiztion problems are widely used in engineering practices such as civil engineering design, automotive design, mechanical design, and concrete construction.

The first chapter of this thesis describes the purpose and significance of studying structural optimization problems, and summarizes some famous separable approximation methods for the objective function and constraint function for solving structural optimization, such as CONLIN, moving asymptote method (MMA)and the incomplete series expansion method (ISE), especially ISE method is emphasized.

Chapters 2 and 3 are the focus of this thesis. In Chapter 2, we make full use of the information of function values and gradient values to improve the incomplete series expansion method, and propose two new incomplete Taylor-like approximation further give two new ISE method for structrual optimizaiton. A salient feature of the formulations we proposed can ensure generate strictly convex and separable approximation to primal problems, and can formulate sequence approximation optimization subproblems to make the Falk dual method easy use. If we transform the design variable with reciprocal or exponential intervening variables, more curvature information of the objective and constraint can be obtained. And we can also combine direct disign variables, reciprocal variables and exponential intervening variables for the objective and constraint functions to get approximations with more curvature information and then generate new methods for structruarl optimization. In Chapter 3, we give the formula soultion of the proposed new approximation mehtod subproblems using Falk duality in detail for structral optimization. Since there is no gap between the primal problem and the covex spearable approximation method, all the proposed methods can ensure convergent to the critical point of the primal problem.

In the fourth chapter, we code the proposed methods with MATLAB, and perform numerical experiments for some typical examples in structural optimization. Numerical results indicate that the proposed methods can be competitive with the famous MMA and ISE, which imply that the new methods are effective.

Finally ,we summarize the thesis and point out problems for the future research.

Key Words: Structural optimization; Sequential approximate optimization (SAO); Incomplete Taylor-like approxiamtion ; Falk Duality;

目录

摘要 I

Abstract II

第一章 绪论 1

1.1 研究的结构优化意义 1

1.2 文献综述 2

1.2.1 不完全级数展开（ISE） 3

1.2.2 ISE的优点 4

1.3 主要的创新工作 5

第二章 利用函数值信息Taylor类逼近 6

2.1 直接设计变量 6

2.2 倒数干涉变量 6

2.3 近似子问题的构造 7

第三章 对偶 8

3.1 对偶近似子问题的构造 8

3.1.1 具有直接设计变量的二阶Taylor类展开的对偶 9

3.1.2 具有倒数干涉变量的二阶Taylor类展开的对偶 11

3.2 对偶近似子问题的求解 11

第四章 数值实验 12

4.1 重量最小化问题 12

4.1.1 五变量悬臂梁问题 12

4.2 其他问题 15

4.2.1 双杆桁架同步形状和尺寸设计 15

第五章 总结 18

参考文献 19

致谢 21

绪论

研究的结构优化意义

结构优化问题广泛存在于土木工程设计、汽车设计、机械设计及具体施工等工程实践中。结构是指承受荷载的物质材料的排列，结构优化则是在给定的条件下制定结构最优设计方案的方法。通常情况下结构优化分为三大类，即拓扑优化、形状优化和尺寸优化。一个结构优化问题一般由目标函数和约束条件组成。目标函数是设计好坏的度量，通常指的是结构的构造费用、重量，或者是应力的有效性度量或者是某个给定方向的位移。约束条件基本上分为三类，即关于结构的平衡性约束关于状态变量的行为约束、关于设计变量的设计约束和关于状态变量的行为约束。结构的平衡性约束一般由结构力学分析给出，在变量连续的情况通常为偏微分方程，需要利用有限元方法进行离散。因此结构优化问题一般是一个大规模变量问题，只能利用目标函数和约束函数的一阶导数信息，很难利用它们的全部二阶导数值信息，只能部分利用它们的二阶导数信息。

结构优化是来自工程实践的特殊非线性规划，是非线性规划算法和理论应用的重要分支，也是检验非线性规划算法实用性的重要阵地。研究结构优化从理论上来讲可以拓展非线性规划的理论和算法，促进非线性规划学科发展。

研究结构优化从工程实践上讲可以提高工程设计的设计质量，提高实体工程的质量，可以在满足设计要求的条件下减少工程中原材料的耗费，直接带来经济效益和社会效益。结合到最近提出土木建筑的结构模块化制造，我国对传统行业转行升级、重点发展智能制造等政策，为保持经济发展大力投资制造设备、修建水利工程、制造大飞机等一系列基础设施建设工程，在这些智能制造或大型工程中利用结构优化的研究成果能够带来可观的经济效益。