大跨度桥梁抖振分析的新算法

摘要

本文为大跨度桥梁的抖振分析提供了一种新算法，完全通过有限单元法和虚拟激励法是其主要特点。在桥面的气动弹性力首先被转换成节点力，形成单元气动弹性阻尼和刚度矩阵，然后空气动力转化为节点力，从而获得一个单元载荷向量。在运动的系统方程被组成后，虚拟激励法最终被施加以确定抖振响应，这自然包括帧间模式和多模式的贡献。新算法的准确性是通过一个桥面的例子与斯坎伦的方法相比较的。该算法的潜在优势也被指出。

关键词:抖振分析；大跨径桥梁；有限单元法；频域；虚拟激励法；潜在优势

1.简介

对于大跨度索承桥，桥面风致振动主要表现为由于风湍流和依赖在桥面上运动的自激振动而引起的像颤振、涡旋脱落、驰振之类的抖振。过去的二十年防止因颤振而引起桥面不稳定和通过对桥面横截面的优化或安装气动弹性装置来显著减少涡旋脱落的响应的许多努力已经取得成功。注意桥面的抖振反应相对少一些，大概是因为抖振一般不会导致灾难性的后果。但是，随着现代大跨度桥梁跨度不断突破纪录，抖振响应显著上升，这可能会导致结构组件和连接产生严重的疲劳损伤，车辆在桥面上行驶的不稳定性以及行人的不适。

在六十年代初期，达文波特[1]把平稳时间序列和随机振动理论的统计概念应用到大跨度桥梁抖振分析中。他在考虑空气动力沿桥面的时间和空间分布上引入气动导纳函数和关节接纳。他通过考虑气动阻尼也部分考虑了桥面在抖振响应中的运动影响。在七十年代，斯坎伦和盖德[2]扩展了他们从颤振失稳[3]到抖振响应的研究成果。他们认为，自激力（气动弹性力）将影响到桥面的抖振响应，因此，他们建议考虑由于风湍流而引起的气动力和由于在抖振分析中和桥面一起运动的气动弹性力。随着气动弹性力被关注后，气动弹性刚度阻尼效应和在弯曲和扭转振动之间的气动弹性耦合被包括在一组颤振导数中。但是在气动力方面他们并没有考虑气动导纳函数。

在现代大跨度桥梁抖振分析中无论是使用达文波特的理论或斯坎伦理论实际上是数值，实验和分析方法的结合。有限元技术通常被用以确定现代大跨度桥梁的固有频率和模态。桥段模型的风洞试验提供颤振导数和空气动力学系数。然后连续梁被用于桥面建模和分析，以确定在每种振动模式中的抖振响应，然后叠加振型组合法（）得出的结果。显然，这种桥面的抖振分析忽略了振动模态之间的耦合。

现代大跨度索承桥往往有非常紧密间隔的固有频率和显著的由于质心和桥面的刚度中心的分离[4]而引起的振动在弯曲和扭转模式下的显著结构耦合。因此，从振动的多模式和振动的帧间模式到桥面的抖振响应的贡献可以被包含在内。为考虑多模式抖振，林和杨[5]提出了使用连续梁桥面模型在湍流风中响应交叉谱的一般线性计算理论。Jain等[6]使用连续梁模型和基于随机振动模态叠加的方法来考虑多模式和帧间模式的抖振响应。他们用模式的方法通过与斯坎伦的模式比较来证明帧间模式响应的重要性。

在本文中，完整的有限单元法和虚拟激励法会一起被介绍。被描述为颤振导数函数的气动弹性力或自激力和桥面的运动，首先被斯坎伦和他的同事[6]转换成节点力，形成单元气动弹性阻尼和刚度矩阵。然后再桥面上的气动力或抖振力被转化为节点力以获得单元载荷向量。最后，运动的系统方程被组装并转换到频域后，抖振力的频谱矩阵形成，虚拟激励法被发展为用以确定桥面的抖振响应。建议的算法在本文中的优点包括：（1）能够容易地处理沿桥面有明显变化的结构特性的复杂桥面；（2）充分利用为特征值分析而开发的桥梁的有限元模型；（3）能够在桥面的抖振响应中自然的包含帧间模式和多模式的贡献。在别处将被讨论的潜在优势为：（1）能够开展不仅仅只是桥面的全桥的抖振分析；（2）能够检查在桥面、桥塔以及索之间的抖振相互作用；（3）提供一个强大的工具来考察装有离散阻尼装置的索承桥的振动控制。

2.气动弹性刚度阻尼矩阵

作用在桥面上的气动弹性力和自激力来自于流风与桥面运动之间的相互作用。经过多次实验和理论分析以及审议了实际应用后，斯坎伦和他的同事依据所谓的颤振导数在数学上描述了作用在桥面上的自激力[2,6,8]如下：

（1）

（2）

（3）

其中，和分别等于自激阻力，升力以及单位跨度长度内的扭矩；等于空气的密度；等于当时风的平均速度；为桥面的宽度；（称为降频）；，以及是的函数（称为颤振导数）；，以及分别为桥面的横向和垂直动态位移以及扭转动力旋转；每一个过度点表示相对于时间的一个部分的分化。以上表示的气动弹性力被施加到桥面横截面的局部质量中心。他们在三个位移分量上气动耦合。

在矩阵表示法中可以表示为：

（4）

其中：

（5）

（6）

（7）

其中，。

考虑到多模式和帧间模式的抖振响应，并使其更容易处理沿桥面平均风速和桥面性质的变化，并利用好现有的桥梁有限元模型来进行自然频率和模态的判定，在本文中有限元方法用来进行抖振分析。让我们首先假设桥面可以用个三维梁单元来建模，第个元件的内部的位移和其节点位移之间的关系可以表示为：

（8）

其中向量为对应于矢量d的第个元件的3times;1的内部位移矢量;载体为第个元件的12times;1节点位移矢量;基体为第个元素的3times;12插函数矩阵，其中的每个元素仅的函数。由虚功的原理，第个元素的气动弹性刚度阻尼基质可以分别得到为：

（9）

（10）

其中积分是在单元的长度定积分。系统气动弹性刚度矩阵和气动弹性阻尼矩阵最终可以从单元气动弹性刚度和阻尼矩阵中得到，同样的道理，系统结构刚度矩阵和结构阻尼矩阵的可以从单元结构刚度和阻尼矩阵中得到。

3.气动力矢量和频谱矩阵

通过假设气动弹性力和气动力之间没有任何相互作用，采用准稳态空气动力系数，在桥面上的空气动力（抖振力）可表示为[6]

（11）

（12）

（13）

其中，和分别为抖振阻力，升力，单位跨度长度内的弯矩；，和分别为阻力，升力，根据桥面宽度而形成的力矩系数；；；；为入射风的攻角；和分别是脉动风的水平和垂直分量。我们注意到在公式（11）到（13）中没有用到气动导纳。

前述的气动力可以用矩阵表示法来表示。

（14）

其中：

（15）

在用于桥面局部坐标系的第个单元的结点一致抖振力可以通过以下定积分来获得：

（16）

除了桥面，抖振力也作用在桥塔，索和其他桥部件。因此，希望能有全桥而不仅桥面的抖振分析。建议的算法确实应提供检查桥梁构件之间的相互作用的机会，但本文主要是通过与斯坎伦和他的同事的方法进行比较以验证提出的算法，因此只有桥面上抖振力被考虑。

对于桥面，在局部坐标系统中由公式（16）所表达的节点力可以通过坐标变换矩阵的被转换成全局坐标系。

（17）

如果个梁元件用于桥面建模，是在全局坐标系中第个单元的节点力向量，为坐标变换矩阵。因此，全局气动力向量，，可以获得作用在桥面上的抖振力：

（18）

其中：

（19）

（20）

其中，上标表示矩阵的转置。注意，坐标变换矩阵不是的函数。因此，如果假设作用在桥面上的脉动风分量和可通过平稳随机过程来表示，能获得用于桥面上的抖振力的相关函数矩阵：

（21）

其中为期望值算子。作用在桥面上的抖振力的谱密度函数矩阵如下：

（22）

其中：

（23）

（24）

其中全尺寸图像是用于甲板的第和第个单元的节点抖振力的12times;12交叉谱密度函数矩阵； 和为第个和第个单元的长度。在桥面上的风分量的交叉谱密度函数被表示为[7]：

（25）

（26）

（27）

（28）

其中，为常数范围；为桥面的总长度；为地面上方的高度；为风的摩擦速度；为虚数单位；和分别为共同谱和正交谱；是的结果。用于正交频谱的尚未作出定量评估，但组成可以选择为[6]：

（29）

如果用于桥面梁元件的长度足够小，可以不用积分来计算第个和第个单元之间的节点抖振力交叉谱密度函数矩阵。

（30）

其中，和分别为第和第个单元中心点的坐标。

4.虚拟激励法

为全桥进行抖振分析的运动公式可以表达为：

（31）

其中是维包括桥面，塔，索和其它部件的总节点位移矢量；是times;的总质量矩阵； C是包括气动弹性阻尼矩阵（它是降低频率的函数）的times;的总阻尼矩阵； 为含有该气动弹性刚度矩阵（它也是降低频率的函数）的times;的总刚度矩阵； 是维的总加载向量（在一般情况下，），在本文中它只包含桥面上的抖振力，也就是说，等于； 是包括0和1的矩阵，其扩展维加载向量为维加载向量。

公式（31）里面的傅立叶变换给出了装载和位移响应之间的频域传递函数为：

（32）

其中上标-1表示逆矩阵。对于位移的响应谱密度函数矩阵可从抖振力的谱密度函数矩阵中计算。

（33）

如果应用公式（33）的话，对于一个大跨径桥梁来说，响应谱密度函数矩阵的确定所需的计算工作量是很大的。传统上，如果桥的自然频率很好的分离并且结构阻尼小，基于的随机振动的模式叠加方法（法）是可以被用来克服这个问题的。对于密集自然频率的大跨度桥梁，帧间模式和多模式的反应可能是重要的，但他们在法中忽略不计。因此，这里所建议的虚拟激励算法能够确定抖振响应的谱密度函数矩阵。该算法实际上是转换随机响应计算来确定响应计算和包括帧间模式和多模式的响应。算法[9]的原理及其在风激结构中的应用介绍如下：

请注意，该谱密度函数矩阵通常是对称矩阵，这意味着它的单元满足：

（34）

因此，这种激励频谱矩阵可以被分解为：

（35）

其中，为下三角矩阵；为对角矩阵。的第列标记为，的第个对角元素标记为，可进一步表示为：

（36）

让和分别表示在中的第行，第列以及第列第第个元素。确定这些元素可以用以下步骤：

（37）

（38）

（39）

（40）

然后，虚拟激励构成如下：

（41）

对于每个虚拟激励矢量，虚拟位移响应矢量，可以通过以下确定：

（42）

它可以容易地证明，在桥的位移响应的谱密度函数矩阵可以从以下获得：

（43）

相比公式（33），通过虚拟激励法公式（43）计算响应谱密度矩阵，可以少很多计算量。如果大跨度桥梁的抖振响应由振动的前几个模式为主，可实现计算时间的进一步减少。在这种情况下，运动方程（31）可以依据在特征值中发现的模态首先从维减少到维的尺寸在特征值分析，其中是振动模式的数量。在这之后，虚拟激励法被以同样的方式作为上述的应用。

让是包含第一个模态的模态矩阵，并引入线性变换。

（44）

其中是广义位移响应向量。维的（31）式可以减少到维的方程。

（45）

其中：

（46）

然后虚拟激励法被应用到等式（45），得到维的谱密度函数矩阵，，对于广义坐标与上述方式相同。因此归因于振动的第一模式中位移响应的谱密度函数矩阵是：

（47）

很显然

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