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一种可调忆阻器模型及其在小世界神经网络中的应用

胡小芳，冯刚

生物医学工程系

香港城市大学

中国香港九龙

xiaofanghs@gmail.com,

megfeng@cityu.edu.hk

李海，陈怡然

欧洲经委会部

匹兹堡大学

美国，宾夕法尼亚州，匹兹堡，

Yic52@pitt.edu.hal66@pitt.edu

段书凯

电气与信息工程学院

中国，重庆西南大学

duansk@swu.edu.cn

摘要：本文介绍了一种由Hewlett-Packard（HP）实验室发现的TiO₂薄膜忆阻器设备的新型数学模型。我们提出的模型考虑了边界条件和非线性离子漂移效应，该模型采用分段线性窗函数。与窗函数相关的四个可调参数使模型能够捕获物理HP忆阻器的复杂动力学行为。此外，我们利用所提出的忆阻器模型实现突触连接，并为小世界多层神经网络提供实现方案。仿真结果验证了神经网络在非线性函数逼近中的数学模型和性能。

关键词：忆阻器；分段线性(PWL)窗函数；小世界模型；函数逼近

1.介绍

忆阻器---第四个基本电路元件，是由蔡教授于1971年预测完成已经包含电阻、电感和电容的基本无源器件集^[1]。因此发现了磁通和电荷之间缺失的基本关系并形成了公式化。五年后，Chua和Kang教授介绍了一个更广泛的概念，即忆阻装置，用于描述各种具有压缩滞后输入和输出动态的器件^[2]。然而，惠普实验室^[3]在纳米级双层TiO2薄膜中首次物理实现忆阻器后，忆阻器和忆阻器件才开始吸引学术界和工业界越来越多的关注。不久之后，各种具有忆阻特性的材料和器件被提出，如自旋电子忆阻系统^[4]。

通过使用忆阻（即忆阻器电阻）作为新的状态变量，已经进行了广泛的研究以实现计算和功能应用。许多系统都有与众不同的的地方，如高密度非易失性电阻随机存取存储器（RRAM）^[5]，超高密度布尔逻辑和信号处理^[6]，可重构纳米电子系统（如FPGA）^[7]，非易失性VLSI计算^[8]，非线性电路科学（如Chaos）^[9]，以及神经启发计算系统^[10]。在这方面，一个纳米级的忆阻的准确数学模型对于快速数值分析和计算机辅助IC设计来说是非常重要和必要的^[11]。

HP忆阻器的初始模型由Strukov等人提供^[3]。这是一个简单的模型，仅考虑离子运动的线性形式，通常称为线性离子漂移模型。后来，这项研究通过一系列更复杂的忆阻器模型得以完善，这些模型考虑了离子运动的非线性效应和器件边界的行为。Joglekar建议在模型中使用单值窗函数，以捕获非线性效应并满足边界条件^[12]。然而，这种方法带来严重的“死锁”问题，即一旦达到两个边界之一，没有外部刺激可以再驱动忆阻器。这种情况也被称为边界锁定效应。实际上，所有单值窗口函数都将不可避免地导致这种情况。鉴于此，Biolek等人。通过使用可选窗函数^[12]提出了一种无边界锁定效应的模型。该模型每次只包含一个边界的非线性效应。此外，二值窗函数可以引起与具有相同幅度但具有相反极性的激励相对应的不同增量和减量，即电荷感应移位效应。最近，Corinto等人。创建了一个单值切换窗函数，并在此基础上提出了基于边界条件的模型（BCM）^[13]。不幸的是，这个忆阻器模型没有反映出非线性效应。换句话说，它确实是一种无边界效应的线性模型。

在研究了这些现有方法的优点和缺点后，我们通过利用分段线性窗函数提出了更灵活的分段线性(PWL)模型。PWL模型可以近似捕获几个典型模型提供的HP忆阻器的所有行为。除了通过忆阻器的电流外，还引入了四个可调参数来表征窗函数。这些参数一起使PWL模型在线性和非线性离子漂移情况之间平滑变换。

作为脑神经系统的高度简化的神经，通常被人工神经网络开发来执行一些复杂的计算任务。这样的网络由多个节点通过连接神经元来构成了一些结构，例如前向，反馈，完全连接，单层或多层。然而，这些广泛研究的神经网络模型拥有共同的属性--附近的神经元之间的完整连接。事实上，脑神经网络中存在一些随机性发现：一对神经元之间的联系这些神经元的状态可以通过遵循某些概率而改变。因此， 在开发新型网络模型而不是现有的两种有限网络结构，即常规网络和随机网络方面，已经表现出很大的热情。最近的发现证明了真实生物神经系统具有复杂网络的稀疏连通性以及在微观解剖学尺度上观察到的小世界效应和无标度特性。所谓的小世界模型就是通过在常规网络中添加一些随机性来生成。它具有比随机网络更大的本地互连性，但任何节点对之间的平均路径长度小于常规网络的平均路径长度。大聚类和短路径长度的组合使其成为一种有吸引力的模型能够在本地社区进行专门处理，并在整个网络上进行分布式处理。在这项工作中，我们通过利用PWL忆阻器作为突触连接，提出了一种基于小世界模型的多神经网络的实现方案。该研究的结果可能促进神经网络的进一步发展，特别是在硬件实现方面。

本文的结构如下。我们首先介绍PWL模型并在第2节中描述其独特的特征。所提出的模型的验证在第3部分中通过数值模拟然后在与几个典型模型来比较来进行。在第4节中，提供了理论忆阻器模型的SPICE实现，可以直接应用于数值分析和计算机辅助IC设计。在第5节中，我们将PWL模型在小世界神经网络中的用法作为案例研究。最后，第六节总结了整篇论文。

2.PWL忆阻器模型

HP忆阻器是一种纳米级器件，其结构为铂-二氧化钛薄膜-铂。特别是二氧化钛膜分为低导电率的TiO₂层和高导电率的TiO_2-x层。通过移动掺杂前沿，即TiO₂和TiO_2-x层之间的薄膜面来实现忆阻效应。设D和W分别为二氧化钛双层膜和TiO_2-x层的厚度，和分别表示高电阻状态和低电阻状态。整个忆阻可以表示为：

， (1)

其中表示与时间相关的相对掺杂前沿位置，即

(2)

， (3)

其中是等效的离子迁移率。切换分段线性窗函数保证边界条件，即以及边界附近掺杂前沿运动的非线性，如下式：

， (4)

其中

， (5)

， (6)

和

(7)

其中非负和表示仅在外部激励可以改变忆阻器状态的电流阈值。参数和用于确定非线性离子漂移的区域和状态变量x形式的线性离子漂移，即和，其中和是分别反映和特征重合度的控制参数。

从理论上讲，这四个参数的范围应满足：

， (8)

和

(9)

特别是，如果和，然后

(10)

这导致了线性离子漂移模型过于简单，无法捕捉到一些实际特性。相反，我们在这项工作的开放区间中限制了以上四个参数。

图1.分段线性(PWL)窗函数由公式(4)-(7)推导得到

图1显示了之前提出的PWL窗口函数的特性。据我们所知，当掺杂前沿靠近两个边界移动时，掺杂前沿运动的速度变得很小，而不是在器件中间周围移动。换句话说，当接近器件边缘时，离子漂移被抑制。在PWL模型中，我们使用四个参数来模拟这种非线性效应。特别是，参数和表示的起点和的终点。为了避免死锁问题边界，和不能为零。但是，这样由于可选窗函数的不对称性，不可避免地引起电荷的漂移效应。幸运的是，我们可以通过将和设置为足够小的值来将效果减轻到可接受的阶段。这里的PWL模型与Biolek的模型有很大不同。其他可能的解决方案包括控制外部激励或采取一些重置等操作。

备注：如果预期忆阻器模型反映边界条件，则窗函数不能连续同时摆脱死锁问题。

3.模型验证

我们通过本节中的典型数值分析验证了所提出的PWL模型的特征。在以下所有的模拟中，我们设置了，和。为了与相同条件下的其他典型模型进行比较，我们设置。

A.正常操作模式

忆阻器的正常操作模式表示内部状态变量始终保证在有效范围内的条件，即。因此，忆阻器表现出正常的忆阻效应。图2显示了与频率相关的电流-电压（IV）忆阻器的伏安特性曲线受到周期性电压激励的影响。在低频激励下，显示出明显的压缩磁滞回线。然而，在具有更高频率的条件下，磁滞回线塌陷并且忆阻器退化为具有恒定电阻状态的正常电阻器。在图2(b) ^[3]中获得了类似的观察结果。

在该模式中，激励电压遵循形式。在图2中模拟了1V特性，当和时分别用虚线和实线来表示。该忆阻器的参数是，，和。将激励改为和增加可以导致多循环滞后曲线类似于图2(c)中的滞后曲线^[3]。

图2.激励下的典型电流-电压钳位磁滞回线。虚线循环用和实线是

图3. 电压下的多环缩回线曲线

B.特殊操作模式

当忆阻器在某些异常状态下工作时，比如小型/比例和大的外部激励，PWL模型可以成功地表现出特殊属性。图4和图5显示了特殊操作模式的模拟结果。动态负微分电阻(NDR)的仿真如图4(a)所示，其中，，和。为了进行比较，图4(b)显示了通过模拟设置更改为无NDR的结果，其中，，，。该图4(a)和(b)的模拟表明了NDR不是忆阻器的固有特性，而是取决于器件参数和外部激励。图5表明PWL模型可以成功地模拟物理忆阻器的非线性离子漂移行为。在这里，参数忆阻器的设定为：，，和。

在所有上述情况下，当掺杂前沿接近两个边界中的任何一个时，都可以观察到硬开关效应。所有这些模拟都是完全符合图3(a)-(c)^[3]中的结果，验证了所提出的PWL模型的准确性。

图4.在下的忆阻器电流-电压曲线(a)具有动态负微分电阻的仿真， (b)没有动态负微分电阻的仿真。

图5.模拟忆阻器在下的非线性离子漂移控制

表1非常典型的忆阻器模型

在表1中，我们总结并比较了几种典型忆阻器模型的特性。这里，漂移效应代表电荷引起的漂移效应，边界锁定效应代表死锁问题，而慢速下降效应代表较慢的掺杂前运动或非线性离子漂移效应。所提出的PWL模型具有优于所有这些典型模型的复合优势。而且，PWL模型可以通过适当调整其窗口函数参数来表达所有其他模型。

4.PWL模型的SPICE实现

SPICE建模是分析器件特性和观察电性能的有效方法。在这项工作中，SPICE模型是基于第2节给出的理论方程建立的。表2描述了SPICE子电路在SPICE仿真中的忆阻器器件上应用交流电压源，我们可以在图6所示的电流和电压平面上获得足迹滞后回路，这与中图5（b）^[12]的仿真结果一致。

表2忆阻器模型的子电路描述

图6内置SPICE忆阻器模型的仿真<!--

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