不等式与凸函数

原文作者：Pham Kim Hung

凸函数是一个重要的概念，在数学的多个领域扮演着重要的角色。尽管凸函数总是涉及高深的理论，但本书将试着给你这类函数的更多的可以很容易地被一个高中生所接受的在不等式方面最常用功能的基础知识。

凸函数与Jensen不等式

定义1、设是定义在上的单变量函数，称为上的凸函数，当且仅当对任意以及，总有

.

定理5、如果是定义在上的实函数，对任意，，则是上的凸函数。

证明：我们将证明对任意以及，总有

事实上，假设及是常数，定义

对求导数，

注意到，则是上的增函数。于是，当时，；当时，；总之，我们有。

定理6、（Jensen不等式）设是上的凸函数，对所有，有

.

如果你从来没有读过任何有关凸函数的材料，或者你从来没有见过凸函数的定义，那么下面的引力是非常实用的（尽管它可以直接由Jensen不等式得到）。

引力1、假设一个实函数满足条件

，

则对所有，下列不等式成立

证明：我们用Cauchy归纳法来证明这个引理。由假设，当时，不等式是成立的，因此不等式对是2的指数形式是成立的。所以只需证明，如果不等式对成立，则对也成立。事实上，设不等式对成立。记.由归纳假设，我们有

证毕。

上面的结果我们可以直接从Jensen不等式得到，因为根据定义，每一个凸函数满足

显然，如果我们改变条件到

，

则不等式将改变方向

。

引理2、假设实函数满足条件

，

则对所有，下列不等式成立

.

这个引理的证明与引理1是完全类似的，因此在此不再给出证明。注意到这个引理的应用是相当广泛的，它当然是AM-GM不等式的一般情况。

定理7、（加权Jensen不等式）假设是定义在上的实函数，实数，对所有非负实数，则下列不等式成立

Jensen不等式是该定理当时的一个特例。

让我们考虑该定理的更基本的后续版本。

引理3、假设以及。是定义在上的实函数，则不等式

对每一个正整数以及每一个实数都成立，当且仅当它在时成立。

为了证明引理3以及加权Jensen不等式，我们可以采用和引理1同样的方法来证明。引理1,2和3最大优势是允许使用凸函数方法，即使你不知道有关凸函数的任何事情。下面的推论是显然的。

推论3：

1. 如果我们把算术平均表达式换成的任何其它平均，例如几何平均或者调和平均，那么引理1的结论仍然是成立的。
2. 如果不等式对于两个数改变了方向，那么对于个数不等式也改变方向。

Jensen不等式是一个经典不等式。现在，我们来讨论Jensen不等式的某些应用。

例4.1.1设且，证明：

（IMO Shortlist）

证明：根据引理2，只需证明

我们整理由，这是很明显的。

例4.1.2 设实数，证明：

.

证明：不等式等价于

.

注意到函数，它的二阶导数

.

因此是凸函数，由Jensen不等式，即得所需结果。

和其它基本不等式，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式或者Chebyshev不等式相比较，很明显，Jensen不等式局限在一个单独的世界。Jensen不等式很少用，是因为人们一直认为它对困难的问题力不从心。然而，这是一个不等式未开垦的领域，Jensen不等式变得非常有效，经常给我们带来意想不到的解决方案。

例4.1.3 设，证明：（IMO 2001）

证明：尽管这个问题用Holder不等式已经解决，但是，由Jensen不等式给出的证明依然非常漂亮。不失一般性，我们假设。因为是凸函数，由Jensen不等式我们得到：

在这里。于是只需证明或者或者

最后一个不等式是显然的。当时等号成立。

例4.1.4 设，且，证明：

证明：记，则是一个凸函数。根据Jensen不等式，我们有

于是，不等式可以改写成如下形式

因此，只需证明

等号当时成立。

例4.1.5 设，证明：（Vasile Cirtoaje）

证明：注意到是凸函数。根据Jensen不等式，我们有

于是，只需证明

展开之后，不等式变成

例4.1.6 设，证明：

[Pham Kim hung, Vo Quoc Ba Can]

证明：我们可以假设。因为是凸函数，根据Jensen不等式，有

这里

于是只需证明或者。这是很明显的。因为

等号成立的条件是和及其排列。

例4.1.7 设，证明：

[Pham Kim Hung]

证明：注意到函数是凸函数，所以由Jensen不等式，我们有

不失一般性，我们假设。于是，只需证明

或者等价于

这是显然成立的。因为以及。

例4.1.8 设且满足，证明：

（Pham Kim Hung）

证明：对凸函数应用Jensen不等式，我们有

于是，只需证明

该不等式变形为

由AM-GM不等式，我们有，所以只需证明

因为这最后的不等式是对称的，所以我们可以假设。记

如果，则以及，这就意味着

当然，因此我们得到，由Chebyshev不等式，我们有

如果，则我们也有以及（因为）。这就意味着

等号成立的条件为。

实际上，在一定程度上，加权Jensen不等式有许多 秘密。它现在仍然很少使用，但一旦使用，它总是展示一个美妙的方案。以上问题及其答案，希望能向你传输使用这个特殊方法的技巧，更多的还需要你自己去考虑。

外文文献出处： [1]Pham Kim Hung. Secrets In Inequalities[M]. GIL Publishing House, 2007, (13): 67-75.

外文文献原文附后

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