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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

组合恒等式的证明一直是组合数学的一个重要研究课题，尤其是关于Bernoulli 数和Euler 数等的组合恒等式一直是组合学家和特殊函数学家感兴趣的课题．母函数法一直是证明这些组合恒等式的较为有效的方法．本课题的主要目的是以三角函数关系式为出发点，利用母函数法，建立一些含有Bernoulli数和Euler数的组合恒等式.

国内外研究现状

关于Bernoulli数和Euler数或是它们的多项式的研究主要集中在一下几个方面：含有Bernoulli数和Euler数的卷积恒等式、Miki-型恒等式以及含有Bernoulli和Euler多项式的恒等式。

自1972年H.W.Gould的《组合恒等式》一书问世以来，许多数学工作者对组合恒等式的证明产生了浓厚的兴趣．1983年徐利治教授的《计算组合数学》，1993年唐佑华教授的《新兴组合恒等式》都对组合恒等式进行了详细介绍．这些恒等式中也包含了一些与Bernoulli数和Euler数相关的恒等式．2005年，Liu G D,Luo H等利用几个三角函数的幂级数展开式建立了一些有关Bernoulli数和Euler数的恒等式，这些恒等式展示了钱有限个正奇数的偶次幂之和与Bernoulli数和/或Euler数的线性关系。

Chu W C,Wang C Y等在《Arithmetic Identities Involving Bernoulli and Euler Numbers》一文中利用关于Bernoulli数和Euler数的展开式，结合三角函数积化和差公式不仅推广了Liu的结果，还建立了若干新的等式，此方法简单实用，推导组合恒等式非常有效，这篇文章启发申请人对相关课题做进一步研究．

2. 研究的基本内容

利用母函数法研究与组合数bernoulli数，euler数相关的组合恒等式．具体内容包括：

（1）母函数定义；

（2）bernoulli数和euler数的母函数表示；

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实行方案：

本课题以母函数法为主导展开研究．考虑下述三角函数的幂级数展开式：

　　　　　

4. 参考文献

[1]卢开澄，卢华明.《组合数学》第四版[m]，北京；清华大学出版社，2006.

[2]孙世新，张先迪.《组合原理及其应用》 [m]，北京；国防工业出版社，2006.

[3]stromberg k r.an introduction to classical real analysis[m].belmont，california:wadsworth inc，1981.