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新分数阶离散多变量灰色模型及其应用

摘要

分数阶累加是一种新的、常用的有效提高灰色模型精度的方法。然而，现有的分数阶累加灰色模型大多是在传统灰色模型方法的基础上发展起来的，在实际应用中可能不准确。本论文证明了已有的分数阶卷积多变量灰色模型是有偏模型，然后提出了一种基于离散建模技术的分数阶离散多变量灰色模型，并通过数学分析和随机检验证明了该模型是无偏模型。本文提出了一种基于灰狼优化算法的模型分数阶优化算法来优化该模型。为评估该模型的有效性，执行了4个带有更新数据集的实际案例来和9个已存在的多变量灰色模型比较。结果表明，基于灰狼优化算法的模型分数阶优化效率很高，在所有的实际案例研究中，该模型优于其他9个模型。

关键字:灰色系统模型;分数阶累加;离散灰色模型;灰狼优化算法;中国经济情况

引言

灰色系统模型因其在小样本时间序列预测中的高效性而引起了人们的广泛关注。对于灰色模型，累加运算是最重要的运算。最常用的累加称为一阶累加时代运算(1-AGO)。通过对原始序列的累加，一阶累加序列往往遵循准指数规律，减少了原始数据的随机性，提高了建模精度。然而，整数阶累加只是分数阶累加(FOA)的一种特殊情况。参考论文[1]指出了这一问题，并在2013年首次将分数阶累加引入灰色模型。通过可靠的数学证明和全面的数值研究，分数阶累加法可以有效地减小传统灰色模型的误差。

然而，大多数现有的分数灰色模型基本上是单变量模型，它只能反映序列对时间的响应，而不考虑外部因素的影响。为了填补这一空白，在2018年的[3]中提出了一个带有卷积积分（FQMC）的分数多变量整数模型。卷积积分分数多元灰色模型可以看作是卷积积分灰色模型的一种一般形式，它于2005年在[4]中首次引入，使用正确的解，并从本质上提高了邓[5]对现有多元灰色模型的精度。卷积积分灰色模型可以直接转换为现有的多个单变量灰色模型[6]，也证明了一种建立有效灰色模型的新方法。与具有卷积积分的灰色模型具有相似的公式，相应的分数灰色模型实际上是一个更通用的模型，可以以相似的方式很容易地转换为其他现有的分数灰色模型。因此，研究分数阶灰色模型的性质是非常有价值的。

另一方面，卷积积分灰色模型仍然存在与现有灰色模型相似的缺陷。我们以前的研究报告，卷积积分灰色模型在某些情况下也会不准确，因为它与固体数学证明的内在不一致，这种不一致在现有的灰色模型中广泛存在。对于具有卷积积分的灰色模型，由于其相似的结构和建模过程，本文揭示了分数阶模型也存在相似的问题。

本文通过数学分析，揭示了分数多元卷积灰色模型的不一致性问题。然后利用离散建模技术（DMT）建立了一种新的分数阶离散多变量灰色模型，简称FDGM。现有分数阶灰色模型的另一个问题是，目前还没有详细的算法来寻找分数阶的最优值。因此，我们建立了一个非线性优化问题来寻找最优分数阶，并采用一种基于灰狼优化算法的新算法来求解。

本文的其余部分组织如下：第2节简要介绍了现有的分数阶卷积多变量灰色模型及其误差分析；提出的分数阶离散多变量灰色模型在第3节中给出，包括现有分数阶灰色模型到所提出模型的详细推导、建模过程和所提出模型的无偏性；第4节提出了基于灰狼优化算法的模型分数阶优化算法；第5节给出了四个实际案例研究；第6节给出了结论。

卷积积分分数多元灰色模型概述

分数阶累加的定义

给定任意非负级数 , 它的r阶分数累加(r-FOA)定义为：

其中，，r称为分数阶。在论文[1]中，r的取值范围应在区间(0,1)。但是，r可以是任意实数。

r阶逆分数累加(r-IFOA)通常定义为：

可以注意到，分数阶累积和反分数阶累积的定义具有相同的公式，只有R的符号不同。特别地，我们有如下等式：

当恢复原始序列的预测值时，在构建灰色模型时，等式（2）非常重要，如下内容所示。

具有卷积积分的分数多元灰色模型

具有卷积积分的分数多元灰色模型表示为以下线性微分方程：

当为初始级数的r阶分数累加时，等式(3)被称为此模型的白化方程。当r=1时，该模型得到了现有的灰色模型，其中卷积积分在[4]中提出。最初的模型通常将延迟时间视为rp，但在大多数情况下，此项取0。因此，在不丧失一般性的情况下，本文也省略了这个术语。当r=1，u=0时，分数多元卷积灰色模型得到[5]中给出的传统多元灰色模型。当r=1和n=1时，该模型得出[9]中给出的基本灰色模型；当r=1和x（r）（t=t时，它得出[10]中给出的非均匀灰色模型。在最特殊的情况下，它通过取r=1并删除一阶导数，得出[11]中所示的静态多变量灰色模型。综上所述，分数多元卷积灰色模型可以看作是现有灰色模型的一般形式。

通过对白化方程（3）进行积分，并在区间[k-1，k]中采用两点梯形公式，可以得到现有分数阶灰色模型的离散形式为：

其中成为背景值，定义为：

参数可用最小二乘法估计为：

其中

取，求解式（3），可以得到连续时间响应函数：

其中

连续响应函数在应用中是不可计算的，因此给出如下响应函数：

最后，预测值可以通过使用逆分数阶累加得出：

一旦给定在时间1~s内，阶数r，观测值样本，就可以构建矩阵B，Y，使用最小二乘解(5)式来计算参数。然后利用响应函数（6）和逆分数阶累加（7）得到输出序列的预测值。另一方面，分数阶r由粒子群优化算法（PSO）确定，如[3]所示。

现有分数多元灰色模型的误差分析

可以看出，现有的分数多元灰色模型仍然遵循灰色模型的模式，如[5]所示，“偏微分偏差”，这种模式是传统灰色模型（如GM（1，1））的基本误差源。文献[7]报道，现有的卷积积分灰色模型由于其离散响应函数不满足其增白方程的离散形式，是一个有偏模型，这种不一致性可能在应用中引起较大误差。因此，它与现有的具有卷积积分的灰色模型具有相似的建模过程，因而也存在不一致性，具体分析如下。

表 1

文献8中用于生成测试数据的输入序列

与[7]中的分析类似，我们将离散响应函数（6）替换为现有分数多元灰色模型（4）的离散形式，则（4）的左侧实际上是：

如果离散响应函数（6）满足离散形式（4），则对于所有的，都有其中 是(4)式右边的离散形式。很明显，这种等价性不成立，根据[7]它只适用于非常小的情况，当很大时，建模误差会非常大。

为了更好的解释，我们提供了一个简单的数值例子来说明不一致性如何影响分数多元卷积灰色模型的精度。采用文献8中用于生成测试数据的输入序列（表1）。输出序列的数据由离散响应函数（6）和预测值(7)生成，其中参数r和在区间[minus;2，2]中采用步数0.01，参数和初始值 分别以均匀分布随机生成。，，，以此类推。

平均绝对百分比误差（MAPE）用于评估建模精度，定义为

验证结果如图1所示。可以看出，在大多数情况下，分数多元卷积灰色模型预测的MAPE值都很大，这表明对这种理想生成的数据进行拟合是不准确的。另一方面，我们可以很清楚地看到，分数多元卷积灰色模型预测的MAPE在=0附近比其他情况小得多。这种情况与上述理论分析相吻合。由此可见，卷积积分分数多元灰色模型是一个有偏模型，其适用性有限。

图1：在不同情况下用分数多元卷积灰色模型预测MAPE。（a）、（c）、（e）：当n=2、3、4时，预测的MAPE与参数b1和r的不同值的网格图；（b）、（d）、（f）：当n=2、3、4时，预测的MAPE与参数b1的不同值的剖面图，曲线的颜色与这些值相对应。

本文提出的分数阶离散多元灰色模型

在本节中，我们将介绍使用离散建模技术的新型分数阶离散多变量灰色模型（FDGM）的建模过程，并讨论其一致性。

分数离散多元灰色模型的建模细节

可以注意到，分数多元卷积灰色模型的离散形式是通过积分的数值逼近得到的。另一方面，研究表明，离散灰色模型也可以用导数的近似值来建立。白化方程（3）中的一阶导数可近似为

这种近似通常被称为一阶后向差（见[12]第174页）。这一操作在以往灰色模型的文献中也经常出现。

t=k时，白化方程（3）的左侧可以改写为

把（9）代入（3），我们得到

也可以写成

取以及，我们有以下离散公式：

本文将离散方程（10）称为分数离散多元灰色模型。

该模型也是现有灰色模型的一种通用形式。当r=1时，所提出的模型产生非分数离散灰色模型，如[13]所示。当n=1时，该多元离散灰色模型退化为基本的单变量离散灰色模型[14]，当n=1，时，该模型可转换为非齐次离散灰色模型[15]。另一方面，当r1时，该模型也可转换为现有的分数阶离散灰色模型。同样，当n=1时，所提出的模型产生了[16]中提出的基本分数离散灰色模型。当n=2，时，该模型退化为[17]中提出的非齐次分数

资料编号：[5423]